Sebuah rangkaian RLC seri diberikan tegangan injak (step response), yang menghasilkan respons tegangan pada kapasitor ($v_C$) dan arus pada induktor ($i_L$) sebagai berikut untuk $t > 0$:
$$v_C(t) = 40 – 10e^{-2000t} – 10e^{-4000t} \text{V}$$
$$i_L(t) = 3e^{-2000t} + 6e^{-4000t} \text{mA}$$
(a) Tentukan nilai kapasitansi ($C$) dari rangkaian tersebut.
(b) Tentukan jenis redaman (damping type) yang terjadi pada rangkaian tersebut.
Kita selesaikan masalahnya satu per satu
(a) Nilai Kapasitansi
Kita turunkan dahulu tegangan terhadap waktu dan cari nilai awal
$$\frac{dv_C(t)}{dt} = 20000e^{-2000t} + 40000e^{-4000t}$$
$$\frac{dv_C(0)}{dt} = 20000e^{-2000(0)} + 40000e^{-4000(0)}$$
$$\frac{dv_C(0)}{dt} = 20000e^0 + 40000e^0$$
$$\frac{dv_C(0)}{dt} = 20000 + 40000 = 60000 \text{V}$$
Kita cari nilai awal arus
$$i_L(t) = 3e^{-2000t} + 6e^{-4000t}$$
$$i_L(0) = 3e^{-2000(0)} + 6e^{-4000(0)}$$
$$i_L(0) = 3e^{0} + 6e^{0}$$
$$i_L(0) = 3 + 6 = 9 \text{mA}$$
Rumus arus pada kapasitor adalah
$$i_C(t) = C \frac{dv_C}{dt}$$
Pada rangkaian seri, berlaku $i_C(t) = i_L(t) = i$
$$i(t) = C \frac{dv_C}{dt}$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$0,009 = C \cdot 60000$$
$$C = \frac{0,009}{60000}$$
$$\mathbf{C = 0,00000015 \text{F}}$$
(b) Jenis Redaman
Nilai Faktor Redaman
Kita gunakan rumus cepat yaitu
$$\alpha = \frac{|s_1 + s_2|}{2}$$
$$\alpha = \frac{|-2000 – 4000|}{2}$$
$$\alpha = \frac{|-6000|}{2}$$
$$\mathbf{\alpha = 3000 \text{ rad/s}}$$
Nilai Frekuensi Alami
Kita gunakan rumus cepat yaitu
$$\omega_0 = \sqrt{s_1 \times s_2}$$
$$\omega_0 = \sqrt{(-2000) \times (-4000)}$$
$$\omega_0 = \sqrt{8000000}$$
$$\mathbf{\omega_0 = 2828 \text{rad/s}}$$
Perbandingan Akhir
Karena nilai faktor redaman ($\alpha = 3000$) lebih besar dari nilai frekuensi alami ($\omega_0 = 2828$), maka rangkaian ini adalah Overdamped
