Selesaikan beberapa masalah persamaan diferensial ini dengan mengacu pada kondisi awal
(a) $\frac{d^2v}{dt^2} + 4v = 12, v(0) = 0, \frac{dv(0)}{dt} = 2$
(b) $\frac{d^2i}{dt^2} + 5\frac{di}{dt} + 4i = 8, i(0) = -1, \frac{di(0)}{dt} = 0$
(c) $\frac{d^2v}{dt^2} + 2\frac{dv}{dt} + v = 3, v(0) = 5, \frac{dv(0)}{dt} = 1$
(d) $\frac{d^2i}{dt^2} + 2\frac{di}{dt} + 5i = 10, i(0) = 4, \frac{di(0)}{dt} = -2$
Soal tipe seperti sudah pernah dibahas berkali-kali pada artikel sebelumnya, kamu bisa mengunjunginya untuk memahami langkah pengerjaannya
Bagian (a)
$$\frac{d^2v}{dt^2} + 4v = 12, v(0) = 0, \frac{dv(0)}{dt} = 2$$
Ubah menjadi persamaan kuadrat
$$s^2 + 4 = 0$$
$$s^2 = -4$$
$$0 \pm 2i$$
Karena akar-akarnya berupa bilangan imajiner, maka solusi homogennya adalah
$$v_h(t) = C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)$$
Ubah menjadi persamaan biasa
$$0 + 4v = 12$$
$$4v = 12 \rightarrow v = 3$$
Solusi partikularnya adalah
$$v_p(t) = 3$$
Solusi akhirnya adalah
$$v(t) = C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t) + 3$$
Substitusi nilai awal arus
$$v(0) = C_1 \cos (2(0)) + C_2 \sin (2(0)) + 3$$
$$0 = C_1 \cos (0) + C_2 \sin (0) + 3$$
$$0 = C_1 + 0 + 3$$
$$\mathbf{C_1 = -3}$$
Turunkan persamaan arus
$$\frac{dv(t)}{dt} = -2C_1 \sin (2t) + 2C_2 \cos (2t)$$
$$\frac{dv(0)}{dt} = 6 \sin (2(0)) + 2C_2 \cos (2(0))$$
$$2 = 6 \sin (0) + 2C_2 \cos (0)$$
$$2 = 0 + 2C_2$$
$$\mathbf{C_2 = 1}$$
Susun persamaan akhir tegangan
$$\mathbf{v(t) = 3 – 3 \cos (2t) + \sin (2t) \text{V}}$$
Bagian (b)
$$\frac{d^2i}{dt^2} + 5\frac{di}{dt} + 4i = 8, i(0) = -1, \frac{di(0)}{dt} = 0$$
Ubah menjadi persamaan kuadrat
$$s^2 + 5s + 4 = 0$$
$$(s + 4)(s + 1)$$
$$s_1 = -4 \text{ dan } s_2 = -1$$
Karena akar-akarnya berupa bilangan berbeda, maka solusi homogennya adalah
$$i_h(t) = C_1e^{-4t} + C_2e^{-t}$$
Ubah menjadi persamaan biasa
$$0 + 0 + 4i = 8$$
$$4i = 8 \rightarrow i = 2$$
Solusi partikularnya adalah
$$i_p(t) = 2$$
Solusi akhirnya adalah
$$i(t) = C_1e^{-4t} + C_2e^{-t} + 2$$
Substitusi nilai awal arus
$$i(0) = C_1e^{-4(0)} + C_2e^{0} + 2$$
$$-1 = C_1e^0 + C_2e^0 + 2$$
$$-1 = C_1 + C_2 + 2$$
$$\mathbf{C_1 + C_2 = -3}$$
Turunkan persamaan arus
$$\frac{di(t)}{dt} = -4C_1e^{-4t} – C_2e^{-t}$$
$$\frac{di(0)}{dt} = -4C_1e^{-4(0)} – C_2e^{0}$$
$$0 = -4C_1e^0 – C_2e^0$$
$$0 = -4C_1 – C_2$$
$$\mathbf{4C_1 + C_2 = 0}$$
Selesaikan persamaan linear
$$4C_1 + 4C2 = -12$$
$$4C_1 + C_2 = 0$$
$$C_1 = 1 \text{ dan } C_2 = -4$$
Susun persamaan akhir arus
$$\mathbf{i(t) = 2 + e^{-4t} – 4e^{-t} \text{A}}$$
Bagian (c)
$$\frac{d^2v}{dt^2} + 2\frac{dv}{dt} + v = 3, v(0) = 5, \frac{dv(0)}{dt} = 1$$
Ubah menjadi persamaan kuadrat
$$s^2 + 2s+ 1 = 0$$
$$(s + 1)^2$$
$$s_1 = -1 \text{ dan } s_2 = -1$$
Karena akar-akarnya berupa bilangan kembar, maka solusi homogennya adalah
$$v_h(t) = e^{-t}(C_1+ C_2t)$$
Ubah menjadi persamaan biasa
$$0 + 0 + v = 3$$
$$v = 3 \rightarrow v = 3$$
Solusi partikularnya adalah
$$v_p(t) = 3$$
Solusi akhirnya adalah
$$v(t) = e^{-t}(C_1+ C_2t) + 3$$
Substitusi nilai awal arus
$$v(0) = e^{0}(C_1+ C_2(0)) + 3$$
$$5 = C_1 + 3$$
$$\mathbf{C_1 = 2}$$
Turunkan persamaan arus
$$v(t) = e^{-t}(C_1+ C_2t) + 3$$
Kita gunakan aturan produk
$$\frac{d}{dt}(u \cdot v) = (u \cdot v’ + u \cdot v)$$
- Turunan dari $e^{-t}$ adalah $-e^{-t}$ $(u \implies u’)$
- Turunan dari $C_1 + C_2t$ adalah $C_2$ $(v \implies v’)$
Selesaikan turunan
$$\frac{di(t)}{dt} = e^{-t}\cdot(C_2) – e^{-t}\cdot(2 + C_2t)$$
$$\frac{di(0)}{dt} = e^{0}\cdot(C_2) – e^{0}\cdot(2 + C_2(0))$$
$$1 = C_2 – 2$$
$$\mathbf{C_2 = 3}$$
Susun persamaan akhir arus
$$\mathbf{v(t) = 3 + e^{-t}(2+ 3t) \text{V}}$$
Bagian (d)
$$\frac{d^2i}{dt^2} + 2\frac{di}{dt} + 5i = 10, i(0) = 4, \frac{di(0)}{dt} = -2$$
Ubah menjadi persamaan kuadrat
$$s^2 + 2s + 5 = 0$$
$$\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4(1)(5)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 20}}{2}$$
$$\frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$
Karena akar-akarnya berupa bilangan imajiner, maka solusi homogennya adalah
$$\mathbf{i_h(t) = e^{-t}(C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t))}$$
Ubah menjadi persamaan biasa
$$0 + 0 + 5i = 10$$
$$5i = 10 \rightarrow i = 2$$
Solusi partikularnya adalah
$$\mathbf{i_p(t) = 2}$$
Solusi akhirnya adalah
$$i(t) = e^{-t}(C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)) + 2$$
Substitusi nilai awal arus
$$i(0) = e^{0}(C_1 \cos (2(0)) + C_2 \sin (2(0))) + 2$$
$$4 = C_1 + 2$$
$$\mathbf{C_1 = 2}$$
Turunkan persamaan arus
$$i(t) = e^{-t}(C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)) + 2$$
Kita gunakan aturan produk
$$\frac{d}{dt}(u \cdot v) = (u \cdot v’ + u \cdot v)$$
- Turunan dari $e^{-t}$ adalah $-e^{-t}$ $(u \implies u’)$
- Turunan dari $C_1 \cos (2t)$ adalah $-2C_1 \sin (2t)$ $(v_1 \implies v_1′)$
- Turunan dari $C_2 \sin (2t)$ adalah $2C_2 \cos (2t)$ $(v_2 \implies v_2′)$
Selesaikan turunan
$$\frac{di(t)}{dt} = e^{-t}(-2C_1 \sin (2t) + 2C_2 \cos (2t)) – e^{-t}(C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t))$$
$$\frac{di(0)}{dt} = e^{0}(-4 \sin (2(0)) + 2C_2 \cos (2(0))) – e^{0}(2 \cos (2(0)) + C_2 \sin (2(0)))$$
$$-2 = (-4 \sin (0) + 2C_2 \cos (0)) – (2 \cos (0) + C_2 \sin (0))$$
$$-2 = 2C_2 – 2$$
$$2C_2 = 0$$
$$\mathbf{C_2 = 0}$$
Susun persamaan akhir arus
$$\mathbf{i(t) = 2 + 2e^{-t}\cos (2t) \text{A}}$$
