Sebuah sirkuit seri RLC dideskripsikan sebagai
$$L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{i}{C} = 2$$
Tentukan respons ketika $L = 0,5 H$, $R = 4 \Omega$, dan $C = 0,2 F$. Biarkan $i(0) = 1$ dan $\frac{di(0)}{dt} = 0$
Untuk langkah pengerjaannya tidak jauh berbeda dengan sebelumnya, bedanya kita hanya perlu menyusun ulang persamaannya saja.
Susun Ulang Persamaan
Kita susun ulang persamaan tersebut dengan substitusi nilai-nilainya
$$0,5\frac{d^2i}{dt^2} + 4\frac{di}{dt} + \frac{i}{0,2} = 2$$
$$\frac{d^2i}{dt^2} + 8\frac{di}{dt} + 10i = 4$$
Solusi Homogen
Untuk menyelesaikan dengan solusi homogen, kita buat hasilnya sama dengan nol
$$\frac{d^2i}{dt^2} + 8\frac{di}{dt} + 10i = 0$$
Kita ubah menjadi persamaan kuadrat
$$s^2 + 8s + 10 = 0$$
Gunakan rumus kuadratik untuk mencari akar-akarnya
$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
$$\frac{-8 \pm \sqrt{8^2 – 4(1)(10)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 – 40}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{24}}{2}$$
$$s_1 = \frac{-8 + \sqrt{24}}{2} = \frac{-8 + 4,90}{2} = \frac{-3,1}{2} = -1,55$$
$$s_2 = \frac{-8 – \sqrt{24}}{2} = \frac{-8-4,90}{2} = \frac{-12,9}{2} = -6,45$$
Karena akar-akarnya adalah bilangan berbeda, maka kita buat menjadi
$$y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$$
$$\mathbf{i_h(t) = C_1e^{-1,55t} + C_2e^{-6,45t}}$$
Solusi Partikular
Untuk menyelesaikan dengan solusi partikular, kita buat turunannya sama dengan nol
$$0 + 0 + 10v_p(t) = 4$$
$$10i_p(t) = 4 \rightarrow \mathbf{i_p(t) = 0,4}$$
Pencarian Konstanta
Kita gabungkan hasil homogen dan hasil partikular
$$i(t) = i_h(t) + i_p(t)$$
$$i(t) =C_1e^{-1,55t} + C_2e^{-6,45t} + 0,4$$
Kita substitusikan nilai awal arus
$$i(0) = C_1e^{-1,55(0)} + C_2e^{-6,45(0)} + 0,4$$
$$1 = C_1e^0 + C_2e^0 + 0,4$$
$$\mathbf{C_1 + C_2 = 0,6} \text{ (Persamaan I) }$$
Kita turunkan persamaan arus
$$\frac{di(0)}{dt} = -1,55C_1e^{-1,55t} – 6,45C_2e^{-6,45t}$$
Kita substitusikan nilai awal turunan arus
$$\frac{di(0)}{dt} = -1,55C_1e^{-1,55(0)} – 6,45C_2e^{-6,45(0)}$$
$$\frac{di(0)}{dt} = -1,55C_1e^0 – 6,45C_2e^0$$
$$0 = -1,55C_1 – 6,45C_2$$
$$\mathbf{1,55C_1 + 6,45C_2 = 0} \text{ (Persamaan II) }$$
Kita selesaikan persamaan linear tersebut
$$1,55C_1 + 1,55C_2 = 0,93$$
$$1,55C_1 + 6,45C_2 = 0$$
Dengan eliminasi, didapatkan $C_1 = 0,786$ dan $C_2 = -0,189$
Solusi Akhir
Kita susun ulang persamaan tersebut
$$\mathbf{i(t) = 0,4 + 0,786e^{-1,55t} – 0,189e^{-6,45t} \text{A}}$$
