Persamaan diferensial yang mendeskripsikan tegangan dalam sebuah jaringan RLC adalah
$$\frac{d^2v}{dt^2} + 5\frac{dv}{dt} + 4v = 0$$
Dengan nilai $v(0) = 0$, $\frac{dv(0)}{dt} = 5 \text{V/s}$, carilah $v(t)$
Untuk mengerjakan soal ini, kita menggunakan cara yang sedikit kompleks. Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk memahami sedikit.
Transformasi Persamaan
Kita transformasikan bentuknya menjadi persamaan kuadrat dan cari solusinya.
- $\frac{d^2v}{dt^2} = s^2$
- $\frac{dv}{dt} = s$
- $v = konstanta$
$$\frac{d^2v}{dt^2} + 5\frac{dv}{dt} + 4 = 0$$
$$s^2 + 5s + 4 = 0$$
$$(s + 4) \cdot (s + 1)$$
$$s_1 = -4 \ \text{dan} \ s_2 = -1$$
Cari Akar-Akar Persamaan
Ada beberapa aturan penyusunan solusi yang harus diketahui mengenai akar-akar persamaan diferensial ini.
- Akar-Akar Kembar: $$y = (C_1 + C_2t)e^{rt}$$
- Akar-Akar Berbeda: $$y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$$
- Akar-Akar Imajiner: $$y = e^{\alpha t}(C_1 \cos (\beta t) + C_2 \sin (\beta t))$$
Karena akar-akarnya berbeda, kita buat solusinya menjadi
$$v(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$$
Substitusi Nilai-Nilainya
Kita coba substitusi nilai pertama
$$v(0) = C_1e^{r_1(0)} + C_2e^{r_2(0)}$$
$$0 = C_1e^0 + C_2e^0$$
$$\mathbf{C_1 + C_2 = 0}$$ (Persamaan I)
Kita turunkan persamaan tegangan tersebut
$$\frac{dv(t)}{dt} = r_1 \cdot C_1e^{r_1t} + r_2 \cdot C_2e^{r_2t}$$
Kita coba substitusikan nilai kedua
$$\frac{dv(0)}{dt} = r_1 \cdot C_1e^{r_1(0)} + r_2 \cdot C_2e^{r_2(0)}$$
$$5 = -4 \cdot C_1e^{0} – C_2e^{0}$$
$$5 = -4C_1 – C_2$$
$$\mathbf{-4C_1 – C_2 = 5}$$ (Persamaan II)
Kita selesaikan persamaan linear tersebut
$$4C_1 + 4C_2 = 0$$
$$-4C_1 – C_2 = 5$$
Dengan eliminasi, didapatkan $C_1 = -\frac{5}{3}$ dan $C_2 = \frac{5}{3}$
Susun Ulang Persamaan
Dengan $C_1 = -\frac{5}{3}$ dan $C_2 = \frac{5}{3}$, maka persamaannya menjadi
$$\mathbf{v(t) = -\frac{5}{3}e^{-4t} + \frac{5}{3}e^{-t} \ \text{V untuk t} > 0}$$
$$\mathbf{v(t) = \frac{5}{3}(e^{-t} – e^{-4t}) \ \text{V untuk t} > 0}$$
