Arus pada rangkaian RLC dideskripsikan sebagai:
$$\frac{d^2i}{dt^2} + 10\frac{di}{dt} + 25i = 0$$
Jika $i(0) = 2\text{ A}$ dan $\frac{di(0)}{dt} = 0$, cari $i(t)$ untuk $t > 0$
Ini adalah soal persamaan diferensial yang melibatkan beberapa tahap dalam penyelesaian
Transformasi Persamaan
Kita transformasikan bentuknya menjadi persamaan kuadrat dan cari solusinya.
- $\frac{d^2i}{dt^2} = s^2$
- $\frac{di}{dt} = s$
- $i = konstanta$
$$\frac{d^2i}{dt^2} + 10\frac{di}{dt} + 25i = 0$$
$$s^2 + 10s + 25 = 0$$
$$(s + 5)^2$$
$$s_1 = -5 \ \text{dan} \ s_2 = -5$$
Cari Akar-Akar Persamaan
Ada beberapa aturan penyusunan solusi yang harus diketahui mengenai akar-akar persamaan diferensial ini.
- Akar-Akar Kembar: $$y = (C_1 + C_2t)e^{rt}$$
- Akar-Akar Berbeda: $$y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$$
- Akar-Akar Imajiner: $$y = e^{\alpha t}(C_1 \cos (\beta t) + C_2 \sin (\beta t))$$
Karena akar-akarnya kembar, kita buat solusinya menjadi
$$i(t) = (C_1 + C_2t)e^{-5t}$$
Substitusi Nilai-Nilainya
Kita coba substitusi nilai pertama
$$i(0) = (C_1 + C_2(0))e^{-5(0)}$$
$$2 = C_1e^0$$
$$\mathbf{C_1 = 2}$$
Kita substitusi nilai $C_1$ tersebut
Untuk menurunkannya, kita gunakan aturan rantai
$$\frac{d}{dt}(u \cdot v) = \left[u \cdot v’ + u’ \cdot v \right]$$
$$\frac{d}{dt}((2 + C_2t) \cdot (e^{-5t}))$$
- Turunan dari $(2 + C_2t)$ adalah $C_2$
- Turunan dari $(e^{-5t})$ adalah $-5e^{-5t}$
Kita coba substitusikan nilai kedua
$$(2 + 0) \cdot -5e^0 + C_2 \cdot e^0 = 0$$
$$2 \cdot -(5) + C_2 \cdot 1 = 0$$
$$-10 + C_2 = 0 \rightarrow \mathbf{C_2 = 10}$$
Susun Ulang Persamaan
Dengan $C_1 = 2$ dan $C_2 = 10$, maka persamaannya menjadi
$$\mathbf{i(t) = (2 + 10t)e^{-5t} \ \text{A untuk t} > 0}$$
