Evaluasilah integral-integral berikut:
(a) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4t^2} \delta(t – 2) dt$
(b) $\int_{-\infty}^{\infty} [5\delta(t) + e^{-t}\delta(t) + \cos 2\pi t \delta(t)] dt$
Untuk mengerjakan soal ini, kita gunakan sifat penyaringan. Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk mencari tahu.
(a) $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-4t^2} \delta(t – 2) dt$
Kita identifikasi beberapa komponen
$$f(t) = e^{-4 \text{t}^2}$$
$$t_0 = 2$$
Karena rentang integral dari $-\infty$ sampai $\infty$ mencakup titik $t = 2$, kita cukup memasukkan $t = 2$ ke dalam fungsi $f(t)$
$$f(2) = e^{-4 \cdot {2}^2} = e^{-4 \cdot 4} = \mathbf{e^{-16}}$$
(b) $\int_{-\infty}^{\infty} [5\delta(t) + e^{-t}\delta(t) + \cos 2\pi t \delta(t)] dt$
Kita pecah menjadi beberapa bagian dan mengerjakannya satu per satu
$$\int_{-\infty}^{\infty} 5\delta(t) dt$$
Nilainya 5 karena tidak ada domain t
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t}\delta(t) dt$$
$$f(t) = e^{-t} \ \text{dan} \ t_0 = 0$$
$$f(2) = e^{-0} = \mathbf{1}$$
$$\int_{-\infty}^{\infty} \cos 2\pi t \delta(t)$$
$$f(t) = \cos 2 \pi t \ \text{dan} \ t_0 = 0$$
$$f(2) = \cos 2 \pi 0 = \cos 0 = \mathbf{1}$$
Maka nilai totalnya adalah
$$5 + 1 + 1 = \mathbf{7}$$
