Evaluasilah integral-integral berikut:
(a) $\int_{1}^{t} u(\lambda) d\lambda$
(b) $\int_{0}^{4} r(t – 1) dt$
(c) $\int_{1}^{5} (t – 6)^2 \delta(t – 2) dt$
Mari kita mengerjakan satu per satu
(a) $\int_{1}^{t} u(\lambda) d\lambda$
Fungsi unit step $u(\lambda)$ bernilai 1 untuk $\lambda \geq 0$ dan 0 untuk $\lambda < 0$. Karena batas bawah integral adalah 1 (yang mana sudah lebih besar dari 0), maka di sepanjang rentang integrasi ini, nilai $u(\lambda)$ selalu 1.
$$\int_{1}^{t} 1 d\lambda = [\lambda]_1^t = t – 1$$
(b) $\int_{0}^{4} r(t – 1) dt$
Fungsi ramp $r(t-1)$ didefinisikan sebagai:
$t – 1$ jika $t \geq 1$
$0$ jika $t < 1$
Karena fungsi bernilai 0 sebelum $t=1$, kita ubah batas bawahnya:
$$\int_{1}^{4} (t – 1) dt$$
Gunakan substitusi sederhana atau integralkan langsung:
$$\left[ \frac{1}{2}t^2 – t \right]_1^4$$
$$\left( \frac{1}{2}(16) – 4 \right) – \left( \frac{1}{2}(1) – 1 \right)$$
$$(8 – 4) – (0.5 – 1)$$
$$4 – (-0.5)$$
$$4.5$$
(c) $\int_{1}^{5} (t – 6)^2 \delta(t – 2) dt$
Gunakan kembali Sifting Property. Syarat utamanya adalah titik impuls ($t_0$) harus berada di dalam rentang batas integral.
Titik impuls: $t = 2$
Rentang integral: $1$ sampai $5$
Karena $2$ berada di antara $1$ dan $5$, maka properti ini berlaku.
Cukup substitusikan $t = 2$ ke dalam fungsi $(t – 6)^2$:
$$(2 – 6)^2 = (-4)^2 = 16$$
