Evaluasilah integral-integral berikut yang melibatkan fungsi impuls:
(a) $\int_{-\infty}^{\infty} 4t^2 \delta(t-1) dt$
(b) $\int_{-\infty}^{\infty} 4t^2 \cos 2\pi t \delta(t-0.5) dt$
Kunci untuk menyelesaikan soal ini adalah Sifat Penyaringan (Sifting Property) dari fungsi delta, yang dirumuskan sebagai:
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t – t_0) dt = f(t_0)$$
Intinya, integral ini akan “mengambil” nilai fungsi $f(t)$ tepat pada titik di mana impuls itu terjadi ($t_0$).
(a) $\int_{-\infty}^{\infty} 4t^2 \delta(t-1) dt$
Kita identifikasi beberapa komponen
$$f(t) = 4 \text{t}^2$$
$$t_0 = 1$$
Karena rentang integral dari $-\infty$ sampai $\infty$ mencakup titik $t = 1$, kita cukup memasukkan $t = 1$ ke dalam fungsi $f(t)$
$$f(4) = 4 \cdot (1)^2 = 4 \cdot 1 = 4$$
(b) $\int_{-\infty}^{\infty} 4t^2 \cos 2\pi t \delta(t-0.5) dt$
Kita identifikasi beberapa komponen
$$f(t) = 4 \text{t}^2 \text{cos} 2 \pi \text{t}$$
$$t_0 = 0,5$$
Karena rentang integral dari $-\infty$ sampai $\infty$ mencakup titik $t = 0,5$, kita cukup memasukkan $t = 0,5$ ke dalam fungsi $f(t)$
$$f(0,5) = 4 \cdot (0,5)^2 \text{cos} 2 \pi (0,5) = 4 \cdot 0,25 \cdot \text{cos}(180^\circ) = 1 \cdot (-1) = -1$$
