Nyatakan sinyal-sinyal berikut ini dalam bentuk fungsi singularitas (seperti fungsi unit step u(t), fungsi ramp r(t), atau fungsi impulse \delta(t)).
(a) $\displaystyle v(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ -5, & t > 0 \end{cases}$
(b) $\displaystyle i(t) = \begin{cases} 0, & t < 1 \\ -10, & 1 < t < 3 \\ 10, & 3 < t < 5 \\ 0, & t > 5 \end{cases}$
(c) $\displaystyle x(t) = \begin{cases} t – 1, & 1 < t < 2 \\ 1, & 2 < t < 3 \\ 4 – t, & 3 < t < 4 \\ 0, & \text{Lainnya} \end{cases}$
(d) $\displaystyle y(t) = \begin{cases} 2, & t < 0 \\ -5, & 0 < t < 1 \\ 0, & t > 1 \end{cases}$
Kita akan mengubahnya menjadi fungsi singularitas unit step $u(t)$ dan unit ramp $r(t)$
Rumus transformasi fungsi singularitas adalah
$$x(t) = (\text{Perubahan Nilai}) u(t – \text{domain waktu})$$
Bagian (a)
Sinyal awalnya bernilai 0 saat $t$ dibawah 0 dan bernilai -5 saat $t$ diatas 0
$v(t) = -5 u(t)$
Bagian (b)
Sinyal awalnya bernilai 0 saat $t$ dibawah 1 dan bernilai -10 saat $t$ diatas 1
$${i(t)}_{1} = -10 u(t-1)$$
Sinyal awalnya bernilai -10 saat $t$ dibawah 3 dan bernilai 10 saat $t$ diatas 3
$${i(t)}_{2} = 20 u(t-3)$$
Sinyal awalnya bernilai 10 saat $t$ dibawah 5 dan bernilai 0 saat $t$ diatas 5
$${i(t)}_{3} = -10 u(t-5)$$
Maka hasilnya adalah
$$i(t) = -10 u(t-1) + 20 u(t-3) -10 u(t-5)$$
Bagian (c)
Bagian ini cukup menarik karena membutuhkan penyelesaian yang sedikit kompleks
- Fungsi domain $(1 < t < 2)$
Pada t = 1, sinyal mulai naik dengan kemiringan +1 (dilihat dari fungsi t-1).
Dalam fungsi singularitas, ini adalah fungsi ramp yang digeser ke kanan sejauh 1.
Komponen: r(t-1).
- Fungsi domain $(2 < t < 3)$
Pada t = 2, sinyal yang tadinya naik harus menjadi datar (nilai tetap 1).
Agar kemiringan +1 menjadi 0 (datar), kita harus menambahkan kemiringan -1.
Komponen: -r(t-2).
- Fungsi domain $(3 < t < 4)$
Pada t = 3, sinyal yang tadinya datar (0) harus mulai turun dengan kemiringan -1 (dilihat dari fungsi 4-t, di mana koefisien t adalah -1).
Jadi, kita tambahkan kemiringan -1 lagi pada titik t = 3.
- Komponen: -r(t-3).
Fungsi domain $t > 4$
Pada t = 4, sinyal yang tadinya sedang turun (kemiringan -1) harus menjadi datar lagi (bernilai 0).
Agar kemiringan -1 menjadi 0, kita harus menambahkan kemiringan +1.
Komponen: +r(t-4).
Bagian (d)
Pada umumnya, nilai suatu variabel dibawah 0 haruslah 0. Maka, kita bisa anggap 2 adalah konstanta.
Sinyal awalnya bernilai 2 saat $t$ dibawah 0 dan bernilai -5 saat $t$ diatas 0
$${y(t)}_{1} = -7 u(t)$$
Sinyal awalnya bernilai -5 saat $t$ dibawah 1 dan bernilai 0 saat $t$ diatas 1
$${y(t)}_{2} = 5 u(t-1)$$
Maka hasilnya adalah
$$y(t) = 2 – 7u(t) +Â 5u(t-1)$$
Catatan: Ingat 2 adalah konstanta karena nilainya jarang diatas 0.
