Dengan menggunakan fasor, tentukan arus $i(t)$ dari persamaan-persamaan berikut ini:
(a) $\displaystyle 2\frac{di}{dt} + 3i(t) = 4 \cos(2t – 45^\circ)$
(b) $\displaystyle 10 \int i \, dt + \frac{di}{dt} + 6i(t) = 5 \cos(5t + 22^\circ) \text{ A}$
Untuk mengerjakan domain arus, sama persis dengan cara mengerjakan domain tegangan. Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk mempelajarinya.
(a) $\displaystyle 2\frac{di}{dt} + 3i(t) = 4 \cos(2t – 45^\circ)$
Identifikasi Parameter
Kita dapat mengidentifikasi kecepatan sudut
$$\omega = 2 \text{ rad/s}$$
Kita harus mencari bentuk fasor
$$i(t) = 4 \cos(2t – 45^\circ)$$
$$I = 4 \angle -45^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Fasor
Ingat beberapa aturan ini
$$\frac{di}{dt} \rightarrow j\omega \mathbf{I}$$
$$i(t) = \mathbf{I}$$
Maka hasilnya menjadi
$$2\frac{di}{dt}+ 3i(t) = 2j\omega \mathbf{I} + 3\mathbf{I}$$
Buat menjadi persamaan umum
$$3I + 2j(2)I = 4 \angle -45^\circ$$
$$3I + 4jI = 4 \angle -45^\circ$$
$$I(3 + 4j) = 4 \angle -45^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Polar
Ubah dahulu $3 + 4j$ menjadi bentuk polar
$$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
$$\theta = \tan^{-1}(4/3) = \tan^{1}(1,333) = 53,12^\circ$$
$$5 \angle 53,12^\circ$$
Ubah kembali persamaannya
$$V(5 \angle 53,12^\circ) = 4 \angle -45^\circ$$
Cari kembali nilai I
$$V = \frac{4 \angle -45^\circ}{5 \angle 53,12^\circ}$$
$$V = \frac{4}{5} \angle (-45^\circ – 53,12^\circ)$$
$$V = 0,8 \angle -98,12^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Waktu
$$\mathbf{i(t) = 0,8 \cos(2t – 98,12^\circ) \text{ A}}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
(b) $\displaystyle 10 \int i \, dt + \frac{di}{dt} + 6i(t) = 5 \cos(5t + 22^\circ) \text{ A}$
Identifikasi Parameter
Kita dapat mengidentifikasi kecepatan sudut
$$\omega = 5 \text{ rad/s}$$
Kita harus mencari bentuk fasor
$$I = 5 \cos(5t + 22^\circ)$$
$$I = 5 \angle 22^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Fasor
Ingat beberapa aturan ini
$$\frac{di}{dt} \rightarrow j\omega \mathbf{I}$$
$$i(t) = \mathbf{I}$$
$$\int i dt \rightarrow \frac{\mathbf{I}}{j\omega}$$
Maka hasilnya menjadi
$$10\int i dt + \frac{di}{dt} + 6i(t) = 10\frac{\mathbf{I}}{j\omega} + j\omega \mathbf{I} + 6\mathbf{I}$$
Ubah persamaan tersebut
$$\text{Hasil} = 6\mathbf{I} + (j\omega \mathbf{I}) + \left(10\frac{\mathbf{I}}{j\omega}\right)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{I} \left( 6 + j\omega + \frac{10}{j\omega} \right)$$
Subtitusikan nilai $\omega = 5$:
$$\mathbf{V} \left( 6 + j \times 5 + \frac{10}{j \times 5} \right)$$
$$\mathbf{V} (6 + j5 – j2)$$
$$\mathbf{V} (6 + j3)$$
Trasnsformasi Menjadi Domain Polar
Ubah dahulu bentuk rektangular menjadi bentuk polar
$$r = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 6,708$$
$$\theta = \tan^{-1}(3/6) = \tan^{-1}(0,5) = 26,56^\circ$$
$$6,708 \angle 26,56^\circ$$
Bagikan persamaan tersebut
$$\frac{5 \angle 22^\circ}{6,708 \angle 26,56^\circ} = \frac{5}{6,708} \angle (22^\circ – 26,56^\circ)$$
$$\frac{5 \angle 22^\circ}{6,708 \angle 26,56^\circ} = 0,745 \angle -4,56^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Waktu
$$\mathbf{i(t) = 0,745 \cos(5t – 4,56^\circ) \text{ I}}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
