Persamaan loop untuk sebuah rangkaian seri $RLC$ adalah sebagai berikut:
$$\frac{di}{dt} + 2i(t) + \int_{-\infty}^{t} i \, dt = \cos(2t) \text{ A}$$
Dengan mengasumsikan bahwa nilai integral pada $t = -\infty$ adalah nol, tentukan arus $i(t)$ menggunakan metode fasor.
Cara mengerjakan soal ini hampir sama dengan soal sebelumnya, tetapi dalam bentuk tegangan. Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk mencari tahu.
Identifikasi Parameter dan Bentuk Phasor
Ingat bagaimana bentuk fasor
$$x(t) = X_m \cos (\omega t + \phi)$$
$$X = X_m \angle \phi$$
Maka bentuk fasornya adalah
$$i(t) = \cos(2t) \text{ A}$$
$$I = 1 \angle 0^\circ \text{ V}$$
Turunkan dan Integral dalam Bentuk Fasor
Dalam domain phasor, berlaku aturan berikut:
- Turunan ($\frac{di}{dt}$) berarti dikalikan dengan $j\omega$
$$\frac{di}{dt} \rightarrow j\omega \mathbf{I}$$
- Integral ($\int i dt$) berarti dibagi dengan $j\omega$
$$\int i dt \rightarrow \frac{\mathbf{I}}{j\omega}$$
Transformasikan Persamaan dalam Bentuk Fasor
Substitusikan aturan phasor ke dalam persamaan tersebut:
$$\text{Hasil} = 2\mathbf{I} + (j\omega\mathbf{I}) – \left(\frac{\mathbf{I}}{j\omega}\right)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{I} \left( 2 + j\omega + \frac{1}{j\omega} \right)$$
Substitusikan nilai $\omega = 2$:
$$\text{Hasil} = \mathbf{I} \left( 2 + j \times 2 + \frac{1}{j \times 2} \right)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{I} (2 + j2 + – j0,5)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{I} (2 + j1,5)$$
Catatan: $\frac{1}{j} = -j$
Transformasikan ke Bentuk Polar dan Kalikan Polar
Kita ubah bentuk rektangular menjadi bentuk fasor
$$r = \sqrt{2^2 + 1,5^2} = \sqrt{4 + 2,25} = \sqrt{6,25} = 2,5$$
$$\theta = \tan^{-1}(1,5/2) = \tan^{-1}(0,75) = 36,86^\circ$$ (Kuadran II)
$$2,5 \angle 36,86^\circ$$
Kalikan hasilnya dengan polar tegangan
$$\frac{1 \angle 0^\circ}{2,5 \angle 36,86^\circ} = \frac{1}{2,5} \angle (0^\circ – 36,86^\circ)$$
$$\frac{2,5 \angle 36,86^\circ}{1 \angle 0^\circ} = 0,4 \angle -36,86^\circ$$
Ubah ke Bentuk Domain Waktu
$$\mathbf{i(t) = 0,4 \cos(5t – 36,86^\circ)}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
