Sebuah tegangan bolak-balik didefinisikan sebagai $v(t) = 20 \cos(5t – 30^\circ)\text{ V}$. Gunakan fasor untuk menentukan nilai dari:
$$10v(t) + 4\frac{dv}{dt} – 2\int_{-\infty}^{t} v(t) \, dt$$
Asumsikan bahwa nilai integral tersebut adalah nol pada $t = -\infty$.
Untuk mengerjakan soal ini, kita akan bongkar menjadi beberapa tahap penyelesaian.
Identifikasi Parameter dan Bentuk Phasor
Ingat bagaimana bentuk fasor
$$x(t) = X_m \cos (\omega t + \phi)$$
$$X = X_m \angle \phi$$
Maka bentuk fasornya adalah
$$v(t) = 20 \cos(5t – 30^\circ) \text{ V}$$
$$V = 20 \angle -30^\circ \text{ V}$$
Turunkan dan Integral dalam Bentuk Fasor
Dalam domain phasor, berlaku aturan berikut:
Turunan ($\frac{dv}{dt}$) berarti dikalikan dengan $j\omega$
$$\frac{dv}{dt} \rightarrow j\omega \mathbf{V}$$
Integral ($\int v dt$) berarti dibagi dengan $j\omega$
$$\int v dt \rightarrow \frac{\mathbf{V}}{j\omega}$$
Transformasikan Persamaan dalam Bentuk Fasor
Substitusikan aturan phasor ke dalam persamaan tersebut:
$$\text{Hasil} = 10\mathbf{V} + 4(j\omega\mathbf{V}) – 2\left(\frac{\mathbf{V}}{j\omega}\right)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} \left( 10 + j4\omega – \frac{2}{j\omega} \right)$$
Substitusikan nilai $\omega = 5$:
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} \left( 10 + j(4 \times 5) – \frac{2}{j \times 5} \right)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} (10 + j20 + j0,4)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} (10 + j20,4)$$
Catatan: $\frac{1}{j} = -j$
Transformasikan ke Bentuk Polar dan Kalikan Polar
Kita ubah bentuk rektangular menjadi bentuk fasor
$$r = \sqrt{10^2 + 20,4^2} = \sqrt{100 + 416,16} = \sqrt{516,16} = 22,71$$
$$\theta = tan^{-1}(20,4/10) = tan^{-1}(2,040) = 63,88^\circ$$ (Kuadran II)
$$22,71 \angle 63,88^\circ$$
Kalikan hasilnya dengan polar tegangan
$$(20 \angle -30^\circ)(22,71 \angle 63,88^\circ) = (20 \times 22,71) \angle (-30^\circ + 33,88^\circ)$$
$$(20 \angle -30^\circ)(22,71 \angle 76,48^\circ) = 454,20 \angle 33,88^\circ$$
Ubah ke Bentuk Domain Waktu
$$\mathbf{v(t) = 454,4 \cos(5t + 33,89^\circ)}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
