Rangkaian Listrik – Solenoidal dan Fasor – Bagian 14

Sederhanakan ekspresi-ekspresi berikut:

(a) $\displaystyle \frac{(5 – j6) – (2 + j8)}{(-3 + j4)(5 – j) + (4 – j6)}$

(b) $\displaystyle \frac{(240 \angle 75^\circ + 160 \angle -30^\circ)(60 – j80)}{(67 + j84)(20 \angle 32^\circ)}$

(c) $\displaystyle \left( \frac{10 + j20}{3 + j4} \right)^2 \sqrt{(10 + j5)(16 – j20)}$

Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu memahami trik perkalian dan pembagian antara bilangan rektangular dan polar.

Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk mempelajari perkalian bentuk rektangular ataupun polar.

(a) $\displaystyle \frac{(5 – j6) – (2 + j8)}{(-3 + j4)(5 – j) + (4 – j6)}$

Selesaikan Bagian Pembilang

$$(5 – j6) – (2 + j8)$$

$$(5 – 2) + (-j6 – j8)$$

$$3 – j14$$

Selesaikan Bagian Perkalian

$$(-3 + j4)(5 – j) = -15 + j3 + j20 – j^2 4$$

$$(-3 + j4)(5 – j) = -15 + j23 + 4$$

$$(-3 + j4)(5 – j) = -11 + j23$$

Selesaikan Bagian Penyebut

$$(-11 + j23) + (4 – j6)$$

$$(-11 + 4) + (j23 – j6)$$

$$-7 + j17$$

Untuk menyelesaikan pembagian antara bilangan rektangular, kita cukup rasionalisasikan bagian penyebutnya. Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk memahami.

$$\frac{3 – j14}{-7 + j17} \times \frac{-7 – j17}{-7 – j17} = \frac{-21 – j51 + j98 + j^2238}{(-7)^2 – j^2 17^2}$$

$$\frac{3 – j14}{-7 + j17} \times \frac{-7 – j17}{-7 – j17} = \frac{-21 + j47 – 238}{49 + 289}$$

$$\frac{3 – j14}{-7 + j17} \times \frac{-7 – j17}{-7 – j17} = \frac{-259 + j47}{338}$$

$$\frac{3 – j14}{-7 + j17} \times \frac{-7 – j17}{-7 – j17} \approx -0,768 – j0,139$$

Kita ubah menjadi bentuk polar

$$r = \sqrt{(-0,768)^2 + (-0,139)^2} = \sqrt{0,589 + 0,019} = \sqrt{0,608} = 0,779$$

$$\theta = \tan^{-1}((-0,139)/(-0,768)) = \tan^{-1}(0,180) = 10,20^\circ$$

$$\mathbf{0,779 \angle 10,20^\circ}$$

(b) $\displaystyle \frac{(240 \angle 75^\circ + 160 \angle -30^\circ)(60 – j80)}{(67 + j84)(20 \angle 32^\circ)}$

Perlu kita ingat bahwa bilangan polar tidak bisa ditambah atau dikurangi, sehingga kita harus mengubahnya menjadi bilangan rektangular.

Selesaikan Bagian Pembilang

Kita ubah bagian kiri:

$$240 \cos(75^\circ) \approx 62,116$$

$$240 \sin(75^\circ) \approx 231,822$$

$$62,116 + j231,822$$

Kita ubah bagian kanan:

$$x = 160 \cos(-30^\circ) \approx 138,564$$

$$y = 160 \sin(-30^\circ) = -80$$

$$138,564 – j80$$

Kita jumlahkan hasilnya:

$$x = (62,116 + j231,822) + (138,564 – j80)$$

$$y = (62,116 + 138,564) + (j231,822 – j80)$$

$$200,680 – j151,822$$

Kita ubah menjadi bentuk polar.

$$r = \sqrt{(200,680)^2 + (-151,822)^2} = \sqrt{40272,462 + 23049,919} = \sqrt{63322,381} = 251,639$$

$$\theta = \tan^{-1}((-151,822)/(200,680)) = \tan^{-1}(0,756) = 37,08^\circ$$

$$251,639 \angle 37,08^\circ$$

Ubah bentuk rektangular di sebelah kanan menjadi bentuk polar

$$r = \sqrt{(60)^2 + (-80)^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100$$

$$\theta = \tan^{-1}((-80)/(60)) = \tan^{-1}(-1,333) = -53,12^\circ$$

$$100 \angle -53,12^\circ$$

Kita kalikan bagian kiri dengan bagian kanan

$$(251,639 \angle 37,08^\circ)(100 \angle -53,12^\circ) = (251,639 \times 100) \angle (37,08^\circ – 53,12^\circ)$$

$$(251,639 \angle 37,08^\circ)(100 \angle -53,12^\circ) = 25163 \angle -16,04^\circ$$

Selesaikan Bagian Penyebut

Ubah bentuk rektangular menjadi polar

$$r = \sqrt{(67)^2 + (84)^2} = \sqrt{4489 + 7056} = \sqrt{11545} = 106,841$$

$$\theta = \tan^{-1}(84/67) = \tan^{-1}(1,253) = 55,46^\circ$$

$$106,841 \angle 55,46^\circ$$

Kita bisa mengalikan kedua bentuk polar tersebut

$$(106,841 \angle 55,46^\circ)(20 \angle 32^\circ) = (106,841 \times 20) \angle (55,46^\circ + 32^\circ)$$

$$(106,841 \angle 55,46^\circ)(20 \angle 32^\circ) = 2136,820 \angle 87,46^\circ$$

Bagikan Pembilang dan Penyebut

$$\frac{25163 \angle -16,04^\circ}{2136,820 \angle 87,46^\circ} = \frac{25163}{2136,820} \angle (-16,04^\circ – 87,46^\circ)$$

$$\frac{25163 \angle -16,04^\circ}{2136,820 \angle 87,46^\circ} = \mathbf{11,775 \angle -103,50^\circ}$$

(c) $\displaystyle \left( \frac{10 + j20}{3 + j4} \right)^2 \sqrt{(10 + j5)(16 – j20)}$

Selesaikan Bagian Kuadrat

Untuk kemudahan perhitungan, kita ubah pembilang dan penyebutnya menjadi bilangan polar

Bagian pembilang:

$$r = \sqrt{(10)^2 + (20)^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{50000} = 22,360$$

$$\theta = \tan^{-1}(20/10) = \tan^{-1}(2) = 63,43^\circ$$

$$22,360 \angle 63,43^\circ$$

Bagian penyebut:

$$r = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

$$\theta = \tan^{-1}(4/3) = \tan^{-1}(1,333) = 53,12^\circ$$

$$5 \angle 53,12^\circ$$

Kita bagikan pembilang dengan penyebut

$$\frac{22,360 \angle 63,43^\circ}{5 \angle 53,12^\circ} = \frac{22,360}{5} \angle (63,43^\circ – 53,12^\circ)$$

$$\frac{22,360 \angle 63,43^\circ}{5 \angle 53,12^\circ} = 4,472 \angle 10,31^\circ$$

Kuadratkan hasilnya

$$(4,472 \angle 10,31^\circ)(4,472 \angle 10,31^\circ) = (4,472 \times 4,472) \angle (10,31^\circ \times 2)$$

$$(4,472 \angle 10,31^\circ)(4,472 \angle 10,31^\circ) = 19,998 \angle 20,62^\circ$$

Selesaikan Bagian Akar

Kita kalikan keduanya menjadi bilangan rektangular, lalu diubah ke polar, dan kita akarkan kembali.

Kalikan persamaan tersebut:

$$(10 + j5)(16 – j20) = 160 – j200 + j80 – j^2 100$$

$$(10 + j5)(16 – j20) = 160 – j120 + 100$$

$$(10 + j5)(16 – j20) = 260 – j120$$

Ubah bentuknya menjadi bentuk polar

$$r = \sqrt{260^2 + (-120)^2} = \sqrt{67600 + 14400} = \sqrt{82000} = 286,356$$

$$\theta = \tan^{-1}((-120)/260) = \tan^{-1}(-0,461) = -24,74^\circ$$

$$286,356 \angle -24,74^\circ$$

Akarkan bilangan polar tersebut

$$\sqrt{286,36} \angle \left(\frac{-24,78^\circ}{2} \right) = 16,92 \angle -12,39^\circ$$

Kalikan Kedua Bagian

$$(19,998 \angle 20,62^\circ)(16,92 \angle -12,39^\circ) = (19,998 \times 16,92) \angle (20,62^\circ – 12,39^\circ)$$

$$(19,998 \angle 20,62^\circ)(16,92 \angle -12,39^\circ) = \mathbf{338,366 \angle 8,23^\circ}$$