Analisis termodinamika terhadap rancangan turbin gas siklus Brayton menghasilkan daya neto sebesar $P = 5 \text{ MW}$. Kompresor, yang beroperasi pada suhu rata-rata $T_c = 400^\circ \text{C}$, digerakkan oleh turbin yang beroperasi pada suhu rata-rata $T_h = 1000^\circ \text{C}$ melalui sebuah poros dengan panjang $L = 1 \text{ m}$ dan diameter $d = 70 \text{ mm}$ yang memiliki konduktivitas termal $k = 40 \text{ W/m}\cdot \text{K}$.
(a) Bandingkan laju konduksi keadaan-tunak (steady-state) melalui poros yang menghubungkan turbin panas dengan kompresor hangat terhadap daya neto yang diprediksi oleh analisis berbasis termodinamika.
(b) Sebuah tim peneliti mengusulkan untuk memperkecil skala turbin gas dari bagian (a) dengan tetap mempertahankan proporsi semua dimensinya. Tim tersebut mengasumsikan adanya suhu panas dan dingin yang sama seperti pada bagian (a) serta bahwa keluaran daya neto turbin gas sebanding dengan volume keseluruhan perangkat. Buatlah grafik rasio konduksi melalui poros terhadap keluaran daya neto turbin pada rentang $0,005 \text{ m} \leq \text{ L } \leq 1 \text{ m}$. Apakah perangkat dengan skala yang diperkecil pada $L = 0,005 \text{ m}$ dapat diterapkan (feasible)?
Mari kita identifikasi data-datanya:
- Suhu Tinggi ($T_h$): $1273,15 \text{ K}$
- Suhu Rendah ($T_c$): $673,15 \text{ K}$
- Panjang Poros ($L$): $1 \text{ m}$
- Diameter Poros ($d$): $0,07 \text{ m}$
- Konduktivitas Termal ($k$): $40 \text{ W/m}\cdot \text{K}$
- Daya Neto ($P$): $5000000 \text{ W}$
(a) Perbandingan Laju Konduksi ($q$) terhadap Daya Neto ($P$)
Kita hitung luas penampang
$$A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2$$
$$A = \frac{3,1428}{4} \cdot (0,07)^2$$
$$A = 0,7857 \cdot 0,0049$$
$$A = 0,003849 \text{ m}^2$$
Kita hitung laju konduksi
$$q = \frac{k \cdot A \cdot (T_h – T_c)}{L}$$
$$q = \frac{40 \cdot 0,003849 \cdot (1000 – 400)}{1}$$
$$q = \frac{0,154 \cdot 600}{1}$$
$$q = \frac{92,4}{1}$$
$$q = 92,4 \text{ W/m}^2$$
Kita bandingkan laju konduksi dengan daya neto
$$\text{Rasio} = \frac{q}{P}$$
$$\text{Rasio} = \frac{92,4}{5000000}$$
$$\mathbf{\text{Rasio} = 1,848 \times 10^{-5}}$$
Laju kehilangan panas konduksi melalui poros adalah $92,4 \text{ W}$. Kehilangan ini sangat tidak signifikan (hanya sekitar $0,001848\%$) dibandingkan dengan daya neto keluaran turbin sebesar $5 \text{ MW}$. Rancangan makro ini sangat aman secara termal.
(b) Analisis Penskalaan dan Grafik Rasio Konduksi terhadap Daya
Ketika dimensi diperkecil ke skala $L$ yang baru, kita substitusikan ketergantungan dimensi ke dalam persamaan.
Kita hitung daya netto baru berskala volume
$$P(L) = P_{\text{awal}} \cdot \left(\frac{L}{1\text{ m}}\right)^3$$
$$P(L) = 5 \times 10^6 \cdot L^3$$
Kita hitung luas penampang baru berskala luas
$$A(L) = \frac{\pi}{4} \cdot (0,07 \cdot L)^2$$
$$A(L) = \frac{3,1428}{4} \cdot 0,0049 \cdot L^2$$
$$A(L) = 0,7857 \cdot 0,0049 \cdot L^2$$
$$A(L) = 3,849 \times 10^{-3} \cdot L^2$$
Kita hitung laju konduksi yang baru
$$q = \frac{k \cdot A \cdot (T_h – T_c)}{L}$$
$$q = \frac{40 \cdot 3,849 \times 10^{-3} \cdot L^2 \cdot (1273,15 – 673,15)}{L}$$
$$q = \frac{0,154 \cdot L^2 \cdot 600}{L}$$
$$q = \frac{92,4 \cdot L^2}{L}$$
$$q = 92,4 \cdot L \text{ W/m}^2$$
Kita bandingkan laju konduksi baru dengan daya neto baru
$$\text{Rasio(L)} = \frac{q(L)}{P(L)}$$
$$\text{Rasio(L)} = \frac{92,4 \cdot L}{5 \times 10^6 \cdot L^3}$$
$$\text{Rasio(L)} = \frac{1,848 \times 10^{-5}}{L^2}$$
Kita bisa substitusikan pada kedua nilai L
$$L = 1 \text{ m} \rightarrow \frac{1,848 \times 10^{-5}}{1^2} = \frac{1,848 \times 10^{-5}}{1} = 1,848 \times 10^{-5}$$
$$L = 0,005 \text{ m} \rightarrow \frac{1,847 \times 10^{-5}}{(5 \times 10^{-3})^2} = \frac{1,848 \times 10^{-5}}{2,5 \times 10^{-5}} = 0,7388$$
TIDAK FEASIBLE (Tidak Dapat Diterapkan).
Pada skala mikro ($L = 5 \text{ mm}$), daya neto yang dihasilkan hancur drastis karena menyusut secara volumetrik ($P \propto L^3$), sementara laju kehilangan panas konduksi hanya menyusut secara linear ($q \propto L$). Akibatnya, rasio kehilangan panas melonjak hingga $73,9\%$ dari total daya yang diproduksi.
Energi sebesar ini akan langsung mentransfer panas masif dari turbin menuju kompresor, merusak siklus termodinamika Brayton karena kompresor menjadi terlalu panas (menaikkan kerja kompresi secara drastis) sekaligus mendinginkan turbin sebelum sempat mengekstrak kerja secara maksimal.
