Sebuah dinding terbuat dari material yang tidak homogen (tidak seragam), dengan konduktivitas termal yang bervariasi sepanjang ketebalannya menurut persamaan $k = ax + b$, di mana a dan b adalah konstanta. Diketahui bahwa fluks kalor bernilai konstan. Tentukan persamaan untuk gradien suhu dan distribusi suhu jika permukaan pada $x = 0$ berada pada suhu $T_1$.
Kita ingat rumus hukum Fourier untuk konduksi satu dimensi
$$q”_x = -k\frac{dT}{dx}$$
- Konduktivitas termal berubah terhadap posisi $x$: $k(x) = ax + b$
- Fluks kalor bernilai konstan: $q”_x = \text{konstan}$
- Kondisi batas (boundary condition): Pada $x = 0$, suhu dinding adalah $T(0) = T_1$.
Menentukan Persamaan Gradien Suhu ($\frac{dT}{dx}$)
Kita substitusikan persamaan konduktivitas termal ke dalam hukum Fourier
$$q”_x = -(ax + b)\frac{dT}{dx}$$
$$\mathbf{-\frac{q”_x}{ax + b} = \frac{dT}{dx}}$$
Secara fisik, karena penyebutnya $(ax+b)$ membesar atau mengecil seiring bertambahnya $x$, maka gradien suhu sepanjang dinding tidak konstan/tidak linear.
Menentukan Persamaan Distribusi Suhu ($T(x)$)
Untuk mencari fungsi distribusi suhu, kita selesaikan persamaan diferensial tersebut
$$\frac{dT}{dx} = -\frac{q”_x}{ax + b}$$
$$dT = -\frac{q”_x}{ax + b} dx$$
$$dT = -q”_x \frac{1}{ax + b} dx$$
$$\int dT = -q”_x \int \frac{1}{ax + b} dx$$
$$\int dT = -q”_x \cdot \frac{1}{a} \ln |ax + b| dx$$
$$T(x) = -\frac{q”_x}{a} \ln|ax + b| + C$$
Substitusi nilai $x = 0$ untuk mencari nilai konstanta $C$
$$T(0) = -\frac{q”_x}{a} \ln(a(0)+ b) + C$$
$$T_1 = -\frac{q”_x}{a} \ln(b) + C$$
$$C = T_1 + \frac{q”_x}{a} \ln(b)$$
Substitusi nilai konstanta ke fungsi distribusi suhu
$$T(x) = -\frac{q”_x}{a} \ln(ax + b) + T_1 + \frac{q”_x}{a} \ln(b)$$
$$T(x) = T_1 + \frac{q”_x}{a} \ln(b) – \frac{q”_x}{a} \ln(ax + b)$$
$$T(x) = T_1 + \frac{q”_x}{a} (\ln(b) – \ln(ax + b))$$
$$\mathbf{T(x) = T_1 + \frac{q”_x}{a} \ln\left(\frac{b}{ax + b} \right)}$$
(Profil distribusi suhu di dalam dinding ini akan berbentuk kurva logaritmik, bukan garis lurus, karena sifat materialnya yang tidak homogen).
