Selesaikan persamaan diferensial parsial non-homogen berikut:
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + 20x = \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$$
Boundary Conditions (BC) / Syarat Batas:
- Untuk $x = 0 \implies \frac{\partial \psi}{\partial x} = 0$ (Catatan: Simbol $\frac{\partial \psi}{\partial t}$ pada gambar asli di syarat batas $x=0$ umumnya merupakan salah ketik untuk syarat batas jenis Neumann terhadap ruang yaitu $\frac{\partial \psi}{\partial x} = 0$, yang umum ditemukan pada variasi soal ini).
- Untuk $x = 2 \implies \psi = 0$
Initial Condition (IC) / Syarat Awal:
- Untuk $t = 0 \implies \psi = 0$
- (Catatan: Karena ini merupakan persamaan gelombang orde dua terhadap waktu $t$, idealnya dibutuhkan satu syarat awal lagi untuk kecepatan awal $\frac{\partial \psi}{\partial t}(x,0) = 0$ demi mendapatkan solusi tunggal).
Persamaan di atas merupakan Persamaan Gelombang 1 Dimensi Non-Homogen karena keberadaan suku sumber berupa fungsi $20x$.
Untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial (PDP) non-homogen dengan syarat batas homogen, kita dapat memisahkan solusinya menjadi dua bagian:
$$\psi(x,t) = v(x) + w(x,t)$$
Di mana:
- $v(x)$ adalah solusi keadaan tunak (steady-state solution) yang memenuhi bagian non-homogen dan syarat batas ruang.
- $w(x,t)$ adalah solusi transien (transient solution) yang memenuhi persamaan homogennya menggunakan metode pemisahan variabel biasa.
Solusi Keadaan Tunak
Karena $v(x)$ tidak bergantung pada waktu $t$, maka $\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = 0$.
Substitusikan $v(x)$ ke dalam persamaan awal:
$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 20x = \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$$
$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 20x = 0$$
$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = -20x$$
Integralkan dua kali untuk kebutuhan substitusi batas
$$\int \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = \int -20x$$
$$\frac{\partial v}{\partial x} = -10x^2 + C_1$$
$$\int \frac{\partial v}{\partial x} = \int -10x^2 + C_1$$
$$v(x) = -\frac{10}{3}x^3 + C_1x + C_2$$
- Substitusi syarat pertama, yaitu $\frac{\partial v}{\partial x}(0) = 0$
$$\frac{\partial v}{\partial x} = -10x^2 + C_1$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}(0) = -10(0)^2 + C_1$$
$$0 = 0 + C_1$$
$$C_1 = 0$$
- Substitusi syarat kedua, yaitu $v(2) = 0$
$$v(x) = -\frac{10}{3}x^3 + C_1x + C_2$$
$$v(2) = -\frac{10}{3}2^3 + (0)(2) + C_2$$
$$0 = -\frac{80}{3} + C_2$$
$$C_2 = \frac{80}{3}$$
Dengan nilai konstanta yang didapatkan, persamaan menjadi
$$v(x) = -\frac{10}{3}x^3 + \frac{80}{3}$$
Atau jika ingin diubah ke bentuk lain
$$\mathbf{v(x) = -\frac{10}{3}(x^3 – 8)}$$
Solusi Transien
Sebelumnya kita menggunakan fungsi
$$\psi(x,t) = v(x) + w(x,t)$$
Kita turunkan dua kali
$$\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial x}$$
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}$$
Substitusikan nilainya ke fungsi awal
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + 20x = \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$$
$$\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \right) + 20x = \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}$$
Lihat pada solusi keadaan tunak, diketahui bahwa nilai dari $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 20x$ adalah $0$
$$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 20x \right) = \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}$$
$$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + 0 = \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}$$
Karena $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 20x = 0$, maka menyisakan persamaan gelombang homogen untuk $w(x,t)$:
$$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}$$
Persamaan Homogen
Asumsikan bahwa solusi umum $w (x,t)$ dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel
$$w (x,t) = X(x) \cdot T(t)$$
Artinya kita bisa menggunakan substitusi
- $X’ \text{ adalah turunan parsial pertama } w \text{ terhadap } x$
- $X” \text{ adalah turunan parsial kedua } w \text{ terhadap } x$
- $T’ \text{ adalah turunan parsial pertama } w \text{ terhadap } t$
- $T” \text{ adalah turunan parsial kedua } w \text{ terhadap } t$
Dengan asumsi sebelumnya, kita ubah bentuk persamaan tersebut
$$X”(x)T(t) = X(x)T”(t)$$
$$\frac{X”(x)T(t)}{X(x)T(t)} = \frac{X(x)T”(t)}{X(x)T(t)}$$
$$\frac{X”(x)}{X(x)} = \frac{T”(t)}{T(t)}$$
Untuk memudahkan operasi, kita gunakan konstanta lain, misalkan $-\lambda^2$
$$\frac{X”(x)}{X(x)} = \frac{T”(t)}{T(t)} = -\lambda^2$$
- Kita susun persamaan diferensial bagian $X(x)$
$$\frac{X”(x)}{X(x)} = -\lambda^2$$
$$X”(x) = -\lambda^2 X(x)$$
$$\mathbf{X”(x) + \lambda^2 X(x) = 0}$$
- Kita susun persamaan diferensial bagian $T(t)$
$$\frac{T”(t)}{T(t)} = -\lambda^2$$
$$T”(t) = -\lambda^2 T(t)$$
$$T”(t) + \lambda^2 T(t) = 0$$
$$\mathbf{T”(t) + \lambda^2 T(t) = 0}$$
Penyelesaian Persamaan X dan T
$$X”(x) + \lambda^2 X(x) = 0$$
Untuk memudahkannya, kita misalkan $X(x)$ adalah $e^{rx}$
Kita turunkan pertama kali
$$X'(x) = \frac{d}{dx}(e^{rx})$$
$$X'(x) = re^{rx}$$
Kita turunkan kedua kali
$$X”(x) = \frac{d}{dx}(re^{rx})$$
$$X”(x) = r^2e^{rx}$$
Kita substitusikan ke dalam persamaan
$$r^2e^{rx} + \lambda^2 e^{rx} = 0$$
Karena nilai eksponensial mustahil adalah nol, maka bisa kita eliminasi
$$r^2 + \lambda^2 = 0$$
$$r^2 = -\lambda^2$$
$$r = \sqrt{-\lambda^2}$$
$$r = 0 \pm \lambda i$$
Penyelesaiannya bisa menggunakan ketiga solusi
- $\text{Akar real} \ (r_1 \neq r_2): X(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
- $\text{Akar kembar} \ (r_1 = r_2): X(x) = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}$
- $\text{Akar kompleks} \ (\alpha \pm \beta i): X(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$
Karena hasilnya adalah imajiner, maka kita wajib menggunakan solusi khusus imajiner
$$X(x) = e^{0x} (C_1 \cos (\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x))$$
Fungsi pada akhirnya akan menjadi
$$\mathbf{X(x) = (C_1 \cos (\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x))}$$
Dengan cara yang sama pada persamaan T, kita mendapatkan fungsinya adalah
$$\mathbf{T(t) = (C_1 \cos (\lambda t) + C_2 \sin(\lambda t))}$$
Substitusi Batas pada X dan T
Turunkan fungsi X akhir yang sudah didapat
$$X(x) = C_1 \cos (\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x)$$
$$X'(x) = -\lambda C_1 \sin (\lambda x) + \lambda C_2 \cos(\lambda x)$$
Kita substitusikan batas pertama, yaitu $\frac{dX}{dx}(0) = 0$
$$X'(x) = -\lambda C_1 \sin (\lambda x) + \lambda C_2 \cos(\lambda x)$$
$$X'(0) = -\lambda C_1 \sin (\lambda 0) + \lambda C_2 \cos(\lambda 0)$$
$$X'(0) = -\lambda C_1 \sin (0) + \lambda C_2 \cos(0)$$
$$X'(0) = 0 + \lambda C_2$$
$$C_2 = 0$$
Kita substitusikan batas kedua, yaitu $X(2) = 0$
$$X(x) = C_1 \cos (\lambda x)$$
$$X(2) = C_1 \cos (\lambda 2)$$
$$0 = C_1 \cos(2 \lambda)$$
Apabila konstanta $C_1$ bernilai nol, maka tidak akan menghasilkan solusi yang bernilai, melainkan hanya solusi trivial (solusinya bernilai nol). Hal ini tidak akan mungkin terjadi dalam dunia nyata, sehingga bagian yang harus bernilai nol adalah $\cos(2 \lambda)$
Fungsi cosinus akan bernilai nol apabila bernilai $(\frac{1}{2}\pi, \frac{3}{2}\pi, \frac{5}{2}\pi, …)$
$$\cos(2 \lambda) = 0$$
$$2 \lambda = \left(n – \frac{1}{2} \right) \pi, \text{ n = 1,2,3,… }$$
$$2 \lambda = \frac{(2n – 1) \pi}{2}, \text{ n = 1,2,3,… }$$
$$\mathbf{\lambda = \frac{(2n – 1)\pi}{4}, \text{ n = 1,2,3,… }}$$
Maka fungsi akhir dari $X(x)$ akan menjadi
$$\mathbf{X(x) = \cos \left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right)}$$
Dengan cara yang sama pada persamaan T, kita mendapatkan fungsinya adalah
$$\mathbf{T(t) = \cos \left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} t \right)}$$
Kita gabungkan sehingga solusi transien tersebut menjadi deret Fourier
$$\mathbf{w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{4} x\right) \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{4} t\right)}$$
Syarat awal (IC) untuk mencari $A_n$
Pada saat $t = 0$, nilai $w(x,0) = \frac{10}{3}(x^3 – 8):$
$$\frac{10}{3}(x^3 – 8) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{4} x\right) \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{4} t\right)$$
Ini merupakan ekspansi deret Fourier Cosinus untuk fungsi konstan $f(x) = \frac{10}{3}(x^3 – 8)$ pada interval (0,2). Rumus koefisien $A_n$ adalah:
$$A_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos(\lambda_n x) \, dx$$
Dengan $L = 2$ dan $f(x) = \frac{10}{3}(x^3 – 8)$:
$$A_n = \frac{2}{2} \int_{0}^{2} \frac{10}{3}(x^3 – 8) \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right) \, dx$$
$$A_n = \frac{10}{3} \int_{0}^{2} (x^3 – 8) \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right) \, dx$$
Untuk menyelesaikannya, kita gunakan metode integral parsial
$$A_n = \frac{10}{3} \int_{0}^{2} x^3 \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right) \, dx – \int_{0}^{2} 8 \cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4} x \right) \, dx$$
Untuk mempermudah, kita gunakan substitusi $\frac{(2n – 1)\pi}{4} = k$
$$A_n = \frac{10}{3} \int_{0}^{2} x^3 \cos(kx) \, dx – \int_{0}^{2} 8 \cos(kx) \, dx$$
Kita selesaikan bagian kiri
$$\int_{0}^{2} x^3 \cos(kx) \, dx$$
Integral dari $\cos(kx)$ adalah $\frac{1}{k}\sin(kx)$, berikan tanda $(+)$
Untuk menyelesaikannya, kita turunkan terus sampai mendapat nol
$$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \implies \int \frac{1}{k}\sin(kx) = -\frac{1}{k^2}\cos(kx) (-)$$
$$\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x \implies \int -\frac{1}{k^2}\cos(kx) = -\frac{1}{k^3}\sin(kx) (+)$$
$$\frac{d}{dx}(6x) = 6 \implies \int -\frac{1}{k^3}\sin(kx) = \frac{1}{k^4}\cos(kx) (-)$$
Sehingga hasilnya menjadi
$$\mathbf{\frac{x^3}{k}\sin(kx) + \frac{3x^2}{k^2}\cos(kx) – \frac{6x}{k^3}\sin(kx) – \frac{6}{k^4}\cos(kx)}$$
Kita selesaikan bagian kanan
$$\int_{0}^{2} 8 \cos(kx) \, dx$$
Karena 8 adalah konstanta biasa tanpa atribut integrasi, maka kita tinggal integrasi cosinus saja
$$\mathbf{\frac{8}{k} \sin(kx)}$$
Kita selesaikan integrasi seperti semula
$$\left[\frac{x^3}{k}\sin(kx) + \frac{3x^2}{k^2}\cos(kx) – \frac{6x}{k^3}\sin(kx) – \frac{6}{k^4}\cos(kx) \right] – \left[\frac{8}{k} \sin(kx) \right]$$
$$\left[\frac{x^3 – 8}{k}\sin(kx) + \frac{3x^2}{k^2}\cos(kx) – \frac{6x}{k^3}\sin(kx) – \frac{6}{k^4}\cos(kx) \right]$$
Substitusi nilai k ke dalam bentuk aslinya
$$\left[\frac{x^3 – 8}{\frac{(2n – 1)\pi}{4}}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}x\right) + \frac{3x^2}{\frac{(2n – 1)\pi}{4}^2}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}x\right) – \frac{6x}{\frac{(2n – 1)\pi}{4}^3}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}x\right) – \frac{6}{\frac{(2n – 1)\pi}{4}^4}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}x\right) \right]$$
$$\left[\frac{4x^3 – 32}{(2n – 1)\pi}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}x\right) + \frac{48x^2}{(2n – 1)^2\pi^2}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}x\right) – \frac{384x}{(2n – 1)^3\pi^3}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}x\right) – \frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}x\right) \right]$$
Substitusi nilai batas $x = 2$
$$\left[\frac{4(2)^3 – 32}{(2n – 1)\pi}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}(2)\right) + \frac{48(2)^2}{(2n – 1)^2\pi^2}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}(2)\right) – \frac{384(2)}{(2n – 1)^3\pi^3}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}(2)\right) – \frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}(2)\right) \right]$$
$$\left[\frac{0}{(2n – 1)\pi}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{2}\right) + \frac{192}{(2n – 1)^2\pi^2}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{2}\right) – \frac{768}{(2n – 1)^3\pi^3}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{2}\right) – \frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{2}\right) \right]$$
Untuk menyederhanakannya, kita ingat aturan ini
- $\sin\left(\frac{(2n-1)\pi}{2}\right) = (-1)^{n-1}$
- $\cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{2}\right) = 0$
- $\text{n = 1,2,3, …}$
Maka hasil akhirnya adalah
$$-\frac{768(-1)^{n-1}}{(2n – 1)^3\pi^3}$$
$$-1 \cdot \frac{768(-1)^{n-1}}{(2n – 1)^3\pi^3}$$
$$\mathbf{\frac{768(-1)^{n}}{(2n – 1)^3\pi^3}}$$
Substitusi nilai batas $x = 0$
$$\left[\frac{4(0)^3 – 32}{(2n – 1)\pi}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}(0)\right) + \frac{48(0)^2}{(2n – 1)^2\pi^2}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}(0)\right) – \frac{384(0)}{(2n – 1)^3\pi^3}\sin\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}(0)\right) – \frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}\cos\left(\frac{(2n – 1)\pi}{4}(0)\right) \right]$$
$$\left[-\frac{32}{(2n – 1)\pi}\sin(0) + \frac{0}{(2n – 1)^2\pi^2}\cos(0) – \frac{0}{(2n – 1)^3\pi^3}\sin(0) – \frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}\cos(0) \right]$$
Untuk menyederhanakannya, kita ingat aturan ini
- $\sin(0) = \sin(0^\circ) = 0$
- $\cos(0) = \cos(0^\circ) = 1$
- $\text{n = 1,2,3, …}$
Maka hasil akhirnya adalah
$$\mathbf{-\frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}}$$
Kita gabungkan kedua hasilnya
$$\frac{768(-1)^{n}}{(2n – 1)^3\pi^3} – \left(-\frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}\right)$$
$$\frac{768(-1)^{n}}{(2n – 1)^3\pi^3} + \frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}$$
$$\frac{768(-1)^{n}(2n – 1)\pi}{(2n – 1)^4\pi^4} + \frac{1536}{(2n – 1)^4\pi^4}$$
$$\frac{768(-1)^{n}(2n – 1)\pi + 1536}{(2n – 1)^4\pi^4}$$
$$\frac{128(6(-1)^{n}(2n – 1)\pi + 12)}{((2n – 1)\pi)^4}$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$A_n = \frac{10}{3} \left(\frac{128(6(-1)^{n}(2n – 1)\pi + 12)}{((2n – 1)\pi)^4} \right)$$
Jawaban Akhir
Gabungan dari solusi tunak dan solusi transien memberikan solusi lengkap bagi fungsi $\psi(x,t)$:
$$\mathbf{\psi(x,t) = \frac{10}{3}(8 – x^3) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{4} x\right) \cos\left(\frac{(2n-1)\pi}{4} t\right)}$$
Dengan definisi dari konstanta $A_n$ adalah
$$\mathbf{A_n =\frac{1280(6(-1)^{n}(2n – 1)\pi + 12)}{3 ((2n – 1)\pi)^4}}$$
