Tentukan deret Fourier dari fungsi dibawah ini
$$f(x) = \begin{cases} x, & -\pi \le x < 0 \\ 0, & 0 \le x < \pi \end{cases} \ f(x + 2\pi) = f(x)$$
Sebagai catatan referensi tambahan, kamu bisa mengunjungi artikel ini agar kamu bisa mempelajari lebih dalam.
Fungsi harus diidentifikasi sebagai fungsi ganjil atau genap sebelum ditransformasikan menjadi deret Fourier.
Identifikasi Ganjil atau Genap
Misalkan $x = \frac{\pi}{2}$
Karena nilai $\frac{\pi}{2}$ berada di rentang $0 \leq x < \pi$
$$f(\frac{\pi}{2}) = 0$$
Misalkan $x = -\frac{\pi}{2}$
Karena nilai $-\frac{\pi}{2}$ berada di rentang $-\pi \leq x < 0$
$$f(-\frac{\pi}{2}) = x$$
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$$
$$-f(\frac{\pi}{2}) = -0$$
Karena $(f(-\frac{\pi}{2}) \neq -f(\frac{\pi}{2}))$ maka bukan fungsi ganjil
Kita verifikasi genap terlebih dahulu
Fungsi dikatakan genap jika memenuhi syarat $(f(-x) = f(x))$
$$f(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$$
$$f(\frac{\pi}{2}) = 0$$
Karena $(f(-\frac{\pi}{2}) \neq f(\frac{\pi}{2}))$ maka bukan fungsi genap
Karena fungsi bukan ganjil ataupun genap, maka kita harus mencari $a_0$, $a_n$, dan $b_n$
Mencari Nilai $a_0$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_0 = \frac{2}{T} \int f(x)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x \ \text{dan} \ f(x) = 0$ dan $T = 2\pi$, rumusnya menjadi
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \left(\int_{-\pi}^{0} x dx + \int_{0}^{\pi} 0 dx \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-\pi}^{0}$$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \left[\frac{0^2}{2} – \frac{(-\pi)^2}{2}\right]$$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \left[0 – \frac{\pi^2}{2}\right]$$
$$\mathbf{a_0 = -\frac{\pi}{2}}$$
Mencari Nilai $a_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_n = \frac{2}{T} \int f(x) \cos \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x \ \text{dan} \ f(x) = 0$ dan $T = 2\pi$, rumusnya menjadi
$$a_n = \frac{1}{\pi} \left(\int_{-\pi}^{0}x + \int_{0}^{\pi}0 \right) \cos \left(\frac{n \pi x}{\pi}\right)dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \cos \left(\frac{n \pi x}{\pi}\right)dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \cos (nx)dx$$
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-\pi}^{0} x \cos (nx)$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x$ adalah $1$
- Integral dari $\cos (nx)$ adalah $\frac{1}{n} \sin (nx)$
- Integral dari $\sin (nx)$ adalah $-\frac{1}{n} \cos (nx)$
Kita selesaikan integrasinya
$$x \cdot \frac{1}{n} \sin (nx) – \int \frac{1}{n} \sin (nx) \cdot 1$$
$$\frac{x}{n} \sin (nx) – \int \frac{1}{n} \sin (nx)$$
$$\frac{x}{n} \sin (nx) + \frac{1^2}{n^2} \cos (nx)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{x}{n} \sin (nx) + \frac{1}{n^2} \cos (nx)\right]_{-\pi}^{0}$$
$$\left[\frac{0}{n} \sin (n(0)) + \frac{1}{n^2} \cos (n(0)) – \frac{-\pi}{n} \sin (n (-\pi)) – \frac{1}{n^2} \cos (n (-\pi))\right]$$
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (-n\pi)$ adalah 0
$$\left[\frac{1}{n^2} \cos (n(0)) – \frac{1}{n^2} \cos (-n\pi)\right]$$
$$\frac{1}{n^2}(1 – (-1)^n)$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{n^2}(1 – (-1)^n)$$
Maka, nilai dari $a_n$ adalah
$$\mathbf{\frac{1}{\pi n^2}(1 – (-1)^n)}$$
Mencari nilai $b_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$b_n = \frac{2}{T} \int f(x) \sin \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x \ \text{dan} \ f(x) = 0$ dan $T = 2\pi$, rumusnya menjadi
$$b_n = \frac{1}{\pi} \left(\int_{-\pi}^{0}x + \int_{0}^{\pi}0 \right) \sin \left(\frac{n \pi x}{\pi}\right)dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \sin \left(\frac{n \pi x}{\pi}\right)dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \sin (nx)dx$$
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-\pi}^{0} x \sin (nx)$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x$ adalah $1$
- Integral dari $\sin (nx)$ adalah $-\frac{1}{n} \cos (nx)$
- Integral dari $\cos (nx)$ adalah $\frac{1}{n} \sin (nx)$
Kita selesaikan integrasinya
$$x \cdot -\frac{1}{n} \cos (nx) – \int -\frac{1}{n} \cos (nx) \cdot 1$$
$$-\frac{x}{n} \cos (nx) – \int -\frac{1}{n} \cos (nx)$$
$$-\frac{x}{n} \cos (nx) – \frac{1^2}{n^2} \sin (nx)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[-\frac{x}{n} \cos (nx) – \frac{1}{n^2} \sin (nx)\right]_{-\pi}^{0}$$
$$\left[-\frac{0}{n} \cos (n(0)) – \frac{1}{n^2} \sin (n(0)) + \frac{-\pi}{n} \cos (n (-\pi)) + \frac{1}{n^2} \sin (n (-\pi))\right]$$
- Nilai dari $\sin (-n\pi)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
$$\left[-\frac{\pi}{n} \cos (n (-\pi)) \right]$$
$$-\frac{\pi}{n}(-1)^n$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$\frac{1}{\pi} \cdot -\frac{\pi}{n}(-1)^n$$
Maka, nilai dari $b_n$ adalah
$$-\frac{1}{n}(-1)^n$$
$$\frac{1}{n}(-(-1)^n)$$
$$\frac{1}{n}(-1 \cdot (-1)^n)$$
Catatan: sesuai sifat pangkat bilangan
$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
$$\mathbf{\frac{(-1)^{n + 1}}{n}}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Masukkan nilai
$$-\frac{\pi}{2} \ \text{dan} \ \frac{1}{\pi n^2}(1 – (-1)^n) \text{dan} \ \frac{(-1)^{n + 1}}{n}$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{\pi n^2}(1 – (-1)^n) \right]\cos \left(\frac{n\pi x}{\pi}\right) + \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{(-1)^{n + 1}}{n}\right]\sin \left(\frac{n\pi x}{\pi}\right)$$
$$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{\pi n^2}(1 – (-1)^n) \cos (nx) + \frac{(-1)^{n + 1}}{n}\sin (nx) \right]$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\left[\frac{1}{\pi (1)^2}(1 – (-1)^1) \cos (x) + \frac{(-1)^{1 + 1}}{1}\sin (x) \right] = \left[\frac{2}{\pi} \cos (x) + \sin (x)\right]$
- Untuk $n = 2$: $\left[\frac{1}{\pi (2)^2}(1 – (-1)^2) \cos (x) + \frac{(-1)^{2 + 1}}{2}\sin (x) \right] = \left[-\frac{1}{2}\sin (x)\right]$
- Untuk $n = 3$: $\left[\frac{1}{\pi (3)^2}(1 – (-1)^3) \cos (x) + \frac{(-1)^{3 + 1}}{3}\sin (x) \right] = \left[\frac{2}{9\pi} \cos (x) + \frac{1}{3}\sin (x)\right]$
- Untuk $n = 4$: $\left[\frac{1}{\pi (4)^2}(1 – (-1)^4) \cos (x) + \frac{(-1)^{4 + 1}}{4}\sin (x) \right] = \left[-\frac{1}{4}\sin (x)\right]$
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$\mathbf{f(x) = -\frac{\pi}{4} + \left[\frac{2}{\pi} \cos (x) + \sin (x) – \frac{1}{2}\sin (x) + \frac{2}{9\pi} \cos (x) + \frac{1}{3}\sin (x) – \frac{1}{4}\sin (x) + … \right]}$$
