Tentukan nilai eigen dan fungsi eigen dari nilai batas yang diberikan. Asumsikan semua nilai eigen tersebut adalah nyata.
$$y” + \lambda y = 0, \ y'(0) = 0, \ y'(\pi) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Persamaan Karakteristik
Kita buat persamaan tersebut dengan sedikit manipulasi.
$$y” = r^2 \text{dan} \lambda y = \lambda$$
Persamaan tersebut menjadi
$$r^2 + \lambda = 0$$
$$r^2 = -\lambda$$
Nilai eigen bisa berupa bilangan positif, bilangan negatif, atau nol. Kita harus menguji pada ketiga kemungkinan tersebut
Uji Nilai Negatif
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $-\mu^2$
Persamaan menjadi $r^2 = \mu^2$, sehingga $r = \pm \mu$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1 \cosh(\mu x) + c_2 \sinh(\mu x)$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = -c_1 \sinh(\mu x) + \mu c_2 \cosh(\mu x)$$
Substitusi nilai pertama
$$y'(0) = -c_1 \sinh(\mu 0) + \mu c_2 \cosh(\mu 0)$$
$$y'(0) = -c_1 \sinh(0) + \mu c_2 \cosh(0)$$
$$0 = 0 + \mu c_2$$
Catatan: karena nilai $\mu \neq 0$, maka $c_2$ harus nol
$$\mathbf{c_2 = 0}$$
Substitusi nilai kedua
$$y'(\pi) = -c_1 \sinh(\mu \pi)$$
$$0 = -c_1 \sinh(\mu \pi)$$
Catatan:nilai dari $\sinh (\mu \pi)$ adalah positif dan $\mu$ adalah positif, sehingga satu satunya jalan adalah $c_1$ harus $0$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Karena nilai kedua konstanta adalah $0$, maka solusinya adalah trivial
$$y(x) = 0$$
Uji Nilai Nol
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $0$
Persamaan menjadi $r^2 =0$, sehingga $r =0$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1 + c_2x$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = c_2$$
Substitusi nilai pertama
$$y'(0) = c_2$$
$$0 = c_2$$
$$\mathbf{c_2 = 0}$$
Susun ulang persamaan
$$y(x) = c_1$$
$$0 = 0$$
Catatan: berapapun nilai $c_2$, hasilnya tetap konstan $0$ atau tidak memberikan pengaruh apa-apa. Kita mendapatkan solusi eigen $y(x) = c_1$ dan $\lambda = 0$ adalah nilai eigen pertama kita.
Uji Nilai Positif
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $\mu^2$
Persamaan menjadi $r^2 =-\mu^2$, sehingga $r = \pm \mu i$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1\cos(\mu x) + c_2 \sin(\mu x)$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = – \mu c_1\sin(\mu x) + \mu c_2 \cos(\mu x)$$
Substitusi nilai pertama
$$y'(0) = – \mu c_1\sin(\mu 0) + \mu c_2 \cos(\mu 0)$$
$$y'(0) = – \mu c_1\sin(0) + \mu c_2 \cos(0)$$
$$y'(0) = 0 + \mu c_2$$
Catatan: karena nilai $\mu \neq 0$, maka $c_2$ harus nol
Substitusi nilai kedua
$$y'(\pi) = – \mu c_1\sin(\mu \pi) + \mu c_2 \cos(\mu \pi)$$
$$0 = – \mu c_1\sin(\mu \pi)$$
Catatan: berbeda dengan sebelumnya, nilai $\mu$ adalah positif dan nilai $c_1$ haruslah bukan $0$, sehingga $\sin (\mu \pi) = 0$ agar kita bisa mencari solusinya alih-alih memaksa solusinya menjadi solusi trivial.
$\sin(\mu \pi)$ bernilai nol apabila $\mu = 0, 1, 2, …$
Karena ketetapan awalnya adalah $\lambda = \mu^2$, maka nilai eigennya adalah
$$\mathbf{\lambda = \mu^2, \ \mu = 0, 1, 2, …}$$
Masukkan kembali nilai $\mu$ ke dalam solusi awal
$$\mathbf{y(x) = c_1\cos(nx), \ n = 0, 1, 2, …}$$
Nilai Eigen dan Fungsi Eigen
Dari uji ketiga nilai, kita mendapatkan nilai eigen
$\mathbf{\lambda = 0}$
$\mathbf{\lambda = \mu^2, \ n = 0, 1, 2, …}$
Kita gabungkan menjadi $\mathbf{\lambda = \mu^2, \ n = 0, 1, 2, …}$
Dari uji ketiga nilai, kita mendapatkan fungsi eigen
$\mathbf{y(x) = c_1}$
$\mathbf{y(x) = c_1\cos(nx), \ n = 0, 1, 2, …}$
Kita gabungkan menjadi $\mathbf{y(x) = c_1\cos(nx), \ n = 0, 1, 2, …}$
