Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$x^2 y” – 2xy’ + 2y = 0, \ y(1) = -1, \ y(2) = 1$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Solusi Homogen
Kita ubah variabel menjadi polinomial
- $x^2 y” = r(r – 1)$
- $2xy’ = r$
- $y = konstanta$
Maka persamaannya menjadi
$$r(r – 1) – 2r + 2 = 0$$
$$r^2 – r – 2r + 2 = 0$$
$$r^2 – 3r + 2 = 0$$
$$(r – 2)(r – 1) = 0$$
Solusinya adalah $r_1 = 2$ dan $r_2 = 1$
Ingat beberapa rumus ini
- Akar-Akar Berbeda ($r_1 \neq r_2$): $C_1x^{r_1} + C_2x^{r_2}$
- Akar-Akar Kembar ($r_1 = r_2$): $C_1x^r + C_2x^r \ln x$
- Akar-Akar Imajiner ($\alpha \pm \beta i$): $x^\alpha [C_1 \cos (\beta \ln x) + C_2 \sin (\beta \ln x)]$
Karena akar-akarnya berbeda, solusinya adalah
$$y(x) = C_1x^2 + C_2x$$
Terapkan Batas
Kita terapkan syarat pertama
$$y(1) = C_1(1)^2 + C_2(1)$$
$$-1 = C_1 + C_2$$
$$\mathbf{C_1 + C_2 = -1}$$
Kita terapkan syarat kedua
$$y(2) = C_1(2)^2 + C_2(2)$$
$$1 = C_1(4) + C_2(2)$$
$$\mathbf{4C_1 + 2C_2 = 1}$$
Kita selesaikan persamaan linear
$$4C_1 + 4C_2 = -4$$
$$4C_1 + 2C_2 = 1$$
Dengan eliminasi, kita mendapatkan $C_1 = \frac{3}{2}$ dan $C_2 = -\frac{5}{2}$
Susun Ulang Persamaan
Dengan nilai $C_1 = \frac{3}{2}$ dan $C_2 = -\frac{5}{2}$, solusi akhirnya adalah
$$\mathbf{y(x) = \frac{3}{2}x^2 – \frac{5}{2}x}$$
