Gambar berikut menunjukkan plot logaritma (basis 10) dari koefisien difusi terhadap kebalikan suhu mutlak untuk difusi emas dalam perak. Tentukan nilai energi aktivasi dan faktor pra-eksponensial.
Untuk mengambil datanya, kita bisa membaca grafik tersebut dan mengambil titik penting
- Koefisien Difusi Pertama ($D_1$): $10^{-13,6} \text{ m}^2/\text{s}$
- Koefisien Difusi Kedua ($D_2$): $10^{-14,7} \text{ m}^2/\text{s}$
- Temperatur Kesebalikan Pertama ($\frac{1}{T_1}$): $9 \times 10^{-4} \text{ K}$
- Temperatur Kesebalikan Kedua ($\frac{1}{T_2}$): $10 \times 10^{-4} \text{ K}$
Manipulasi Rumus Koefisien Difusi dan Rumus Slope
Kita tahu bahwa rumus koefisien difusi pada awalnya adalah
$$D = D_0 e^{\left(-\frac{Q_d}{RT} \right)}$$
Untuk mempermudah kita menghitung logaritma dengan basis 10, kita manipulasi rumusnya
$$\ln(D) = \ln \left(D_0 \cdot e^{\left(-\frac{Q_d}{RT} \right)} \right)$$
$$\ln(D) = \ln (D_0) + \ln \left(e^{\left(-\frac{Q_d}{RT} \right)} \right)$$
$$\ln(D) = \ln (D_0) – \frac{Q_d}{RT}$$
$$\ln(10) \cdot \log_{10} (D) = \ln (10) \cdot \log_{10} (D_0) – \frac{Q_d}{RT}$$
$$2,303 \log_{10} (D) = 2,303 \log{10} (D_0) – \frac{Q_d}{RT}$$
$$\frac{2,303 \log_{10} (D)}{2,303} = \frac{2,303 \log{10} (D_0)}{2,303} – \frac{\frac{Q_d}{RT}}{2,303}$$
$$\log_{10} (D) = \log_{10} (D_0) – \frac{Q_d}{2,303RT}$$
Sehingga kita bisa menggunakan rumus logaritma dengan basis 10 yang sering dipakai, yaitu
$$\mathbf{\log_{10} (D) = \log_{10} (D_0) – \frac{Q_d}{2,303R} \left(\frac{1}{T} \right)}$$
Pada grafik itu sendiri, kita bisa mengidentifikasi
- Sumbu $x$: Variabel Koefisien Difusi Pertama $(D_1)$ hingga Kedua $(D_2)$
- Sumbu $y$: Variabel Kesebalikan Temperatur Pertama $(\frac{1}{T_1})$ hingga Kedua $(\frac{1}{T_2})$
Sesuai rumus umum, gradien (slope) didefinisikan sebagai
$$\text{Slope} = \frac{\Delta x}{\Delta y}$$
Sehingga kita bisa mendefinisikannya menjadi
$$\text{Slope} = \frac{\Delta \log_{10} D}{\Delta \frac{1}{T}}$$
Menentukan Energi Aktivasi
Dengan data yang ada, kita bisa mencari kemiringan grafik tersebut
$$\text{Slope} = \frac{\log_{10} D_1 – \log_{10} D_2}{\frac{1}{T_1} – \frac{1}{T_2}}$$
$$\text{Slope} = \frac{\log_{10} [10^{-13,6}] – \log_{10} [10^{-14,7}]}{9 \times 10^{-4} – 10 \times 10^{-4}}$$
$$\text{Slope} = \frac{-13,6 – (-14,7)}{-1 \times 10^{-4}}$$
$$\text{Slope} = \frac{1,1}{-1 \times 10^{-4}}$$
$$\text{Slope} = -11000 \text{ K}$$
Rumus sebelumnya yang sudah kita dapatkan adalah
$$\log_{10} (D) = \log_{10} (D_0) – \frac{Q_d}{2,303R} \left(\frac{1}{T} \right)$$
Ini sama dengan rumus persamaan garis yang sering digunakan, yaitu
$$y = mx + c \implies \log_{10} (D) = -\frac{Q_d}{2,303R} \left(\frac{1}{T} \right) + \log_{10} (D_0)$$
Kita identifikasi bagian-bagian tersebut
- Sumbu x ($x$): $\left(\frac{1}{T} \right)$
- Sumbu y ($y$): $\log_{10} (D)$
- Gradien ($m$): $-\frac{Q_d}{2,303R} = 11000 \text{ K}$
- Kosntanta c ($c$): $\log_{10} (D_0)$
Kita bisa mencari nilai energi aktivasi dengan menggunakan rumus gradien
$$m = -\frac{Q_d}{2,303R}$$
$$-11000 = -\frac{Q_d}{2,303 \cdot 8,314}$$
$$-11000 = -\frac{Q_d}{19,147}$$
$$Q_d = -11000 \cdot -19,147$$
$$Q_d = 210617 \text{ J/mol}$$
Menentukan Faktor pra-eksponensial
Untuk mengerjakan permasalahan ini, kita wajib menggunakan persamaan difusi Arhenius berbasis logaritma 10, bukan persamaan difusi Arhenius biasa lagi.
Kita coba pada persamaan pertama
$$\log_{10} (D_1) = \log_{10} (D_0) – \frac{Q_d}{2,303R} \left(\frac{1}{T_1} \right)$$
$$-13,6 = \log_{10} (D_0) – \frac{210617}{2,303 \cdot 8,314} \cdot (9 \times 10^{-4})$$
$$-13,6 = \log_{10} (D_0) – \frac{189,555}{19,147}$$
$$-13,6 = \log_{10} (D_0) – 9,899$$
$$\log_{10} (D_0) = -3,701$$
$$D_0 = 10^{-3,701}$$
$$D_0 = 1,990 \times 10^{-4} \text{ m}^2/\text{s}$$
Kita coba pada persamaan kedua
$$\log_{10} (D_2) = \log_{10} (D_0) – \frac{Q_d}{2,303R} \left(\frac{1}{T_2} \right)$$
$$-14,7 = \log_{10} (D_0) – \frac{210617}{2,303 \cdot 8,314} \cdot (10 \times 10^{-4})$$
$$-14,7 = \log_{10} (D_0) – \frac{210,617}{19,147}$$
$$-14,7 = \log_{10} (D_0) – 11$$
$$\log_{10} (D_0) = -3,700$$
$$D_0 = 10^{-3,701}$$
$$D_0 = 1,995 \times 10^{-4} \text{ m}^2/\text{s}$$
Karena hasil koefisien difusi dari kedua percobaan tidak berbeda jauh, maka kita ambil rata-ratanya saja, yaitu
$$D_0 = 1,992 \times 10^{-4} \text{ m}^2/\text{s}$$
