Tunjukkan bahwa
$$C_x = \frac{B}{\sqrt{Dt}} \exp \left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)$$
juga merupakan solusi untuk Persamaan 5.4b. Parameternya $B$ adalah suatu konstanta yang tidak bergantung pada $x$ dan $t$. Petunjuk: Dari Persamaan 5.4b, tunjukkan hal tersebut
$$\frac{\partial \left[\frac{B}{\sqrt{Dt}} \exp \left(-\frac{x^2}{4Dt} \right) \right]}{\partial t}$$
sama dengan
$$D \left\{ \frac{\partial^2 \left[\frac{B}{\sqrt{Dt}} \exp \left(-\frac{x^2}{4Dt} \right) \right]}{\partial x^2} \right\}$$
Persamaan Turunan Waktu
Persamaan awalnya adalah
$$\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$$
Berhubung kita akan menguji pada waktu, kita ambil persamaan waktu, yaitu
$$\frac{\partial C}{\partial t}$$
Persamaan tersebut menjadi
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{B}{\sqrt{Dt}} e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
Kita selesaikan persamaan tersebut
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{B}{\sqrt{Dt}} e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{B}{\sqrt{D}} \cdot \frac{e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)}}{\sqrt{t}} \right]$$
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{B}{\sqrt{D}} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)}}{\sqrt{t}} \right]$$
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{B}{\sqrt{D}} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{1}{\sqrt{t}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
Dengan adanya perkalian dalam kurung, kita wajib menggunakan aturan produk
- Turunan dari $\frac{1}{\sqrt{t}}$ adalah $-\frac{1}{2} \cdot t^{-\frac{3}{2}}$
- Turunan dari $e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)}$ adalah $\frac{x^2}{4Dt^2} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)}$
Aturan produk dapat diekspansi menjadi
$$-\frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} + \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{x^2}{4Dt^2} e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)}$$
Selesaikan persamaan sebelumnya
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{B}{\sqrt{D}} \left[-\frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} + t^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^2}{4Dt^2} e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{B}{\sqrt{D}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \left[-\frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}} + t^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^2}{4Dt^2} \right]$$
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{B}{\sqrt{D}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \cdot t^{-\frac{1}{2}} \left[-\frac{1}{2}t^{-1} + \frac{x^2}{4Dt^2} \right]$$
$$\frac{\partial C}{\partial t} = \color{red} \frac{B}{\sqrt{Dt}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \left[-\frac{1}{2t} + \frac{x^2}{4Dt^2} \right]$$
Persamaan Turunan Posisi
Persamaan awalnya adalah
$$\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$$
Berhubung kita akan menguji pada posisi, kita ambil persamaan posisi, yaitu
$$D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$$
Persamaan tersebut menjadi
$$D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = D \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left[\frac{B}{\sqrt{D} t} e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
Kita turunkan konstanta terhadap posisi untuk pertama kalinya
$$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left[\frac{B}{\sqrt{D} t} e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
$$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{B}{\sqrt{Dt}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left[e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
$$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{B}{\sqrt{Dt}} \cdot \left[-\frac{x}{2Dt} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
Kita turunkan konstanta terhadap posisi untuk kedua kalinya
$$\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{B}{\sqrt{D} t} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left[-\frac{x}{2Dt} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
Dengan adanya perkalian dalam kurung, kita wajib menggunakan aturan produk
- Turunan dari $-\frac{x}{2Dt}$ adalah $-\frac{1}{2Dt}$
- Turunan dari $e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)}$ adalah $-\frac{x}{2Dt} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)}$
Aturan produk dapat diekspansi menjadi
$$-\frac{1}{2Dt} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} – \frac{x}{2Dt} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \cdot -\frac{x}{2Dt}$$
Selesaikan persamaan sebelumnya
$$\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{B}{\sqrt{Dt}} \cdot \left[-\frac{1}{2Dt} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} – \frac{x}{2Dt^2} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \cdot -\frac{x}{2Dt} \right]$$
$$\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{B}{\sqrt{Dt}} \cdot \left[-\frac{1}{2Dt} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} + \frac{x^2}{4D^2 t^2} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \right]$$
$$\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{B}{\sqrt{Dt}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \left[-\frac{1}{2Dt} + \frac{x^2}{4D^2 t^2} \right]$$
$$D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \color{blue} \frac{B}{\sqrt{Dt}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \left[-\frac{1}{2t} + \frac{x^2}{4Dt^2} \right]$$
Tampak bahwa Persamaan 1 persis sama dengan Persamaan 2.
$$\mathbf{\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{B}{\sqrt{Dt}} \cdot e^{\left(-\frac{x^2}{4Dt} \right)} \left[-\frac{1}{2t} + \frac{x^2}{4Dt^2} \right]$$
Terbukti bahwa fungsi tersebut terbukti memenuhi dan merupakan solusi dari Persamaan 5.4b (Hukum Fick II).
