(a) Turunkan persamaan kerapatan linear untuk arah $[1,0,0]$ dan $[1,1,1]$ pada struktur FCC dalam bentuk jari-jari atom R.
(b) Hitung dan bandingkan nilai kerapatan linear untuk kedua arah tersebut pada tembaga (Cu).
Kita selesaikan masalah tersebut
(a) Persamaan Kerapatan Linear
Seperti yang sudah kita singgung sebelumnya, struktur FCC berarti kubus yang memiliki atom pada setiap sudut kubus dan juga pusat dari persegi. Sehingga, jumlah atom yang termuat adalah 14 atom. Jika kita lihat dengan jelas, rusuk kubus berarti berada dari jari-jari atom pertama menuju jari-jari atom kedua, dengan memperhitungkan atom pusat. Sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa rusuk kubus adalah dua kali jari-jari dikali akar dua.
$$a = 2R\sqrt{2}$$
Untuk mencari nilai kerapatan linear (linear density), kita cukup membagi nilai skalar dengan jumlah atom
$$\text{Linear Density} = \frac{\text{Jumlah Atom}}{\text{Skalar Vektor}}$$
Nah, dari sini barulah kita bisa menebak berapa nilai skalarnya
Arah $[1,0,0]$ (Murni Arah X)
Dari titik asal $[0,0,0]$ menuju $[1,0,0]$, itu artinya hanya berpindah 1 satuan pada posisi X. Ini sama dengan panjang rusuk kubus. Vektor yang terbentuk melewati kedua jari-jari atom. Nilainya sebesar $a$
$$\text{ Jumlah Atom} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
$$\text{ Skalar Vektor} = 2R\sqrt{2}(1) = 2R\sqrt{2}$$
Sekarang kita hitung kerapatan bidangnya.
$$\mathbf{LD_{[1,0,0]} = \frac{1}{2R\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4R}}$$
Arah $[1,1,1]$ (Diagonal Ruang Kubus)
Dari titik asal $[0,0,0]$ menuju $[1,1,1]$, itu artinya berpindah sebesar diagonal ruang kubus. Bidang yang terbentuk adalah segitiga sama sisi dengan masing-masing panjang adalah $a\sqrt{2}$. Vektor yang terbentuk melewati kedua jari-jari atom. Nilainya sebesar $a\sqrt{3}$
$$\text{ Jumlah Atom} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
$$\text{ Skalar Vektor} = 2R\sqrt{2}(\sqrt{3}) = 2R\sqrt{6}$$
$$\mathbf{LD_{[1,1,1]} = \frac{1}{2R\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}}$$
(b) Perhitungan dan Perbandingan pada Tembaga (Cu)
Tembaga (Cu) memiliki struktur kristal FCC dengan jari-jari atom $R = 0,128 \text{ nm}$ (atau $1,28 \times 10^{-10} \text{ m}$).
- Nilai untuk arah $[1,0,0]$
$$LD_{[1,0,0]} = \frac{1,414}{4 \cdot 1,28 \times 10^{-10}}$$
$$LD_{[1,0,0]} = \frac{1,414}{5,12 \times 10^{-10}}$$
$$\mathbf{LD_{[1,0,0]} = 2,761 \times 10^{9} \text{ m}^{-1}}$$
- Nilai untuk arah $[1,1,1]$
$$LD_{[1,1,1]} = \frac{2,449}{12 \cdot 1,28 \times 10^{-10}}$$
$$LD_{[1,1,1]} = \frac{2,449}{15,36 \times 10^{-10}}$$
$$\mathbf{LD_{[1,1,1]} = 1,594 \times 10^{9} \text{ m}^{-1}}$$
Untuk menghitung perbandingannya, kita bandingkan rasionya saja.
