Dengan menggunakan Persamaan 3.11a–3.11d, turunkan ekspresi untuk masing-masing dari ketiga indeks U, V, dan W dalam bentuk keempat indeks u, y, t, dan w.
Untuk menurunkan ekspresi $U, V,$ dan $W$ (sistem 3-indeks) dalam bentuk $u, v, t,$ dan $w$ (sistem 4-indeks), kita akan melakukan manipulasi aljabar (substitusi dan eliminasi) terhadap sistem persamaan yang diberikan pada gambar.
Menurunkan Ekspresi untuk $W$
Dari persamaan 3.11d, kita sudah mendapatkan hubungan langsung yang sangat sederhana
$$w = W$$
Maka, untuk mencari nilai $W$
$$W = w$$
Menurunkan Ekspresi untuk U dan V
Kita memiliki dua persamaan linear utama yang melibatkan $U$ dan $V$
$$u = \frac{1}{3}(2U – V) \implies 3u = 2U – V$$
$$v = \frac{1}{3}(2V – U) \implies 3v = 2V – U$$
Mencari Ekspresi untuk $U$
Kita manipulasi aljabar pada nilai $3u$
$$3u = 2U – V \implies -3u = V – 2U$$
Kalikan dua untuk menghasilkan $2V$
$$-3u = V – 2U \implies -6u = 2V – 4U$$
Sekarang, kita bisa mencari nilai dari $U$
$$3v – (-6u) = (2V – U) – (2V – 4U)$$
$$3v + 6u = 3U$$
$$U = \frac{3v + 6u}{3}$$
$$U = v + 2u$$
Mencari Ekspresi untuk $V$
Kita manipulasi aljabar pada nilai $3v$
$$3v = 2V – U \implies -3v = U – 2V$$
Kalikan dua untuk menghasilkan $2U$
$$-3v = U – 2V \implies -6v = 2U – 4V$$
Sekarang, kita bisa mencari nilai dari $u$
$$3u – (-6v) = (2U – V) – (2U – 4V)$$
$$3u + 6v = 3V$$
$$V = \frac{3u + 6v}{3}$$
$$V = u + 2v$$
Memasukkan Variabel $t$ (Alternatif Ekspresi)
Sistem Miller-Bravais memiliki identitas ketergantungan sumbu pada Persamaan (3.11c), yaitu:
$$t = -(u + v) \implies v = -(u + t) \quad \text{atau} \quad u = -(v + t)$$
Kita bisa mendistribusikan hubungan $t$ ini ke dalam ekspresi $U$ dan $V$ yang baru saja kita dapatkan agar rumusnya menjadi lebih ringkas:
Untuk $U$:
$$U = 2u + v$$
Substitusikan $v = -u – t$:
$$U = 2u + (-u – t)$$
$$U = u – t$$
Untuk $V$:
$$V = u + 2v$$
Substitusikan $u = -v – t$:
$$V = (-v – t) + 2v$$
$$V = v – t$$
