Ilmu dan Teknologi Material – Struktur Atom dan Ikatan Antaratom – Bagian 2.18

Energi potensial bersih antara dua ion yang berdekatan, $E_N$, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari Persamaan 2.9 dan 2.11; yaitu,

$$E_N = -\frac{A}{r} + \frac{B}{r^n}$$

Hitunglah energi ikatan $E_0$ dalam bentuk parameter $A$, $B$, dan $n$ menggunakan prosedur berikut:

1. Diferensialkan (turunkan) $E_N$ terhadap $r$, lalu atur persamaan hasilnya sama dengan nol, karena kurva $E_N$ terhadap $r$ bernilai minimum pada $E_0$.
2. Selesaikan nilai $r$ dalam bentuk variabel $A$, $B$, dan $n$, yang akan menghasilkan $r_0$, yaitu jarak antar-ion pada keadaan setimbang.
3. Tentukan persamaan untuk $E_0$ dengan menyubstitusikan nilai $r_0$ ke dalam Persamaan 2.17.

Menurunkan $E_N$ terhadap $r$ dan Menyamakan dengan $0$

Kita tulis ulang persamaan dalam bentuk umum

$$E_N = -Ar^{-1} + Br^{-n}$$

Kita cari titik minimumnya (turunkan dan samakan dengan nol)

$${-1} \cdot -Ar^{-1 – 1} + {-n} \cdot Br^{-n – 1} = 0$$

$$Ar^{-2} – nBr^{-n – 1} = 0$$

$$\frac{A}{r^2} – \frac{nB}{r^{n + 1}} = 0$$

$$\mathbf{\frac{A}{r^2} = \frac{nB}{r^{n + 1}}}$$

Mencari Nilai $r$ pada saat Setimbang ($r_0$)

$$\frac{A}{r^2} \cdot r^2 = \frac{nB}{r^{n + 1}} \cdot r^2$$

$$A = \frac{nB}{r^{n – 1}}$$

$$\frac{A}{nB} = \frac{1}{r^{n – 1}}$$

$$\frac{nB}{A} = r^{n – 1}$$

$$\left(\frac{nB}{A}\right)^{\frac{1}{n – 1}} = r^{(n – 1) \cdot \frac{1}{n – 1}}$$

$$\mathbf{\left(\frac{nB}{A}\right)^{\frac{1}{n – 1}} = r_0}$$

Substitusi $r_0$ untuk Mencari Energi Ikatan ($E_0$)

Manipulasi persamaan awal untuk mencari $E_0$

$$E_0 = -\frac{A}{r_0} + \frac{B}{r_0^n}$$

Kita bisa menyederhanakan bentuknya

$$r_0^n = r_0 \cdot r_0^{n – 1}$$

$$r_0^n = r_0 \cdot \frac{nB}{A}$$

Substitusi ke persamaan awal

$$E_0 = -\frac{A}{r_0} + \frac{B}{r_0 \cdot \frac{nB}{A}}$$

$$E_0 = -\frac{A}{r_0} + \frac{A \cdot B}{n \cdot r_0 \cdot B}$$

$$E_0 = -\frac{A}{r_0} + \frac{A}{n \cdot r_0}$$

$$E_0 = \frac{A}{r_0}(-1) + \frac{A}{r_0} \left(\frac{1}{n}\right)$$

$$E_0 = \frac{A}{r_0} \left(-1 + \frac{1}{n}\right)$$

Substitusikan nilai jari-jari yang sudah didapatkan

$$E_0 = A \cdot \frac{1}{r_0} \left(-1 + \frac{1}{n}\right)$$

$$E_0 = A \cdot \frac{1}{\left(\frac{nB}{A}\right)^{\frac{1}{n – 1}}} \left(-1 + \frac{1}{n}\right)$$

$$\mathbf{E_0 = \frac{A}{\left(\frac{nB}{A}\right)^{\frac{1}{n – 1}}} \left(-1 + \frac{1}{n}\right)}$$