Sebuah muatan titik memiliki besar muatan $18 \text{ nC}$ memiliki kecepatan $5 \times 10^6 \text { m/s}$ pada arah $a_v = 0.60ax + 0.75ay + 0.30az$. Hitunglah besarnya gaya yang diberikan pada muatan oleh medan:
a. $B = -3ax + 4ay + 60az \text{ mT}$
b. $B = -3ax + 4ay + 60az \text{ Kv/m}$
c. $B$ dan $E$ bertindak bersamaan
Hitung Vektor Kecepatan
Sebelum menyelesaikan masalah tersebut, kita cari vektor kecepatan dahulu
$$v = v \cdot a_v$$
$$v = (5 \times 10^6)(0.60a_x + 0.75a_y + 0.30a_z)$$
$$v = (3a_x + 3.75a_y + 1.5az) \times 10^6 \text{ m/s}$$
Gaya pada Medan Magnet $B$
Dengan nilai $B = (-3a_x + 4a_y + 60a_z) \times 10^3 \text{ T}$
Gaya magnet didefinisikan sebagai $F_m = q(v \times B)$
Kita hitung perkalian cross pada kedua vektor
$$\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 10^6 \cdot 10^{-3} \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z \\ 3 & 3.75 & 1.5 \\ -3 & 4 & 60 \end{vmatrix}$$
$$10^3 [(3.75 \cdot 60 – 1.5 \cdot 4)\mathbf{a}_x – (3 \cdot 60 – 1.5 \cdot -3)\mathbf{a}_y + (3 \cdot 4 – 3.75 \cdot -3)\mathbf{a}_z]$$
$$10^3 [(225 – 6)\mathbf{a}_x – (180 + 4.5)\mathbf{a}_y + (12 + 11.25)\mathbf{a}_z]$$
$$10^3 [219\mathbf{a}_x – 184.5\mathbf{a}_y + 23.25\mathbf{a}_z]$$
Kita hitung perkalian muatan dengan hasil perkalian tersebut
$$\mathbf{F}_m = (18 \times 10^{-9}) \cdot 10^3 (219\mathbf{a}_x – 184.5\mathbf{a}_y + 23.25\mathbf{a}_z)$$
$$\mathbf{F}_m = (18 \cdot 219)\mathbf{a}_x – (18 \cdot 184.5)\mathbf{a}_y + (18 \cdot 23.25)\mathbf{a}_z \cdot 10^{-9} \times 10^3$$
$$\mathbf{F}_m = 3942\mathbf{a}_x – 3321\mathbf{a}_y + 418.5\mathbf{a}_z \times 10^{-6} \text { N}$$
$$\mathbf{F}_m = 3.942\mathbf{a}_x – 3.321\mathbf{a}_y + 0.418\mathbf{a}_z \times 10^{-3}\text{ N}$$
Kita hitung magnitudonya
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(3.942 \times 10^{-3})^2 + (3.321 \times 10^{-3})^2 + (0.418 \times 10^{-3})^2}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(15.539 \times 10^{-6}) + (11.029 \times 10^{-6}) + (0.174 \times 10^{-6})}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(15.539 + 11.029 + 0.174) \times 10^{-6}}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(26.742) \times 10^{-6}}$$
$$|\mathbf{F}_m| = 5.171 \times 10^{-3} \text{ N}$$
Gaya pada Medan Listrik $E$
Dengan nilai $E = (-3a_x + 4a_y + 60a_z) \times 10^3 \text{ Kv/m}$
Gaya listrik didefinisikan sebagai $F_e = qE$
$$\mathbf{F}_e = (18 \times 10^{-9}) \cdot 10^3 (-3\mathbf{a}_x + 4\mathbf{a}_y + 60\mathbf{a}_z)$$
$$\mathbf{F}_m = (18 \cdot (-3))\mathbf{a}_x + (18 \cdot 4)\mathbf{a}_y + (18 \cdot 60)\mathbf{a}_z \cdot 10^{-9} \times 10^3$$
$$\mathbf{F}_m = -54\mathbf{a}_x + 72\mathbf{a}_y + 1080\mathbf{a}_z \times 10^{-6} \text { N}$$
Kita hitung magnitudonya
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(54 \times 10^{-6})^2 + (72 \times 10^{-6})^2 + (1080 \times 10^{-6})^2}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(2916 \times 10^{-6}) + (5184 \times 10^{-6}) + (1166400 \times 10^{-6})}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(2916 + 5184 + 1166400) \times 10^{-6}}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(1174500) \times 10^{-6}}$$
$$|\mathbf{F}_m| = 1083.743 \times 10^{-6} \text{ N}$$
$$|\mathbf{F}_m| = 1.083 \times 10^{-3} \text{ N}$$
Kombinasi Gaya Magnet dan Gaya Listrik
Kita jumlahkan hasil vektor dari kedua bagian
$$F_{total} = F_m + F_e$$
$$F_{total} = (3.942\mathbf{a}_x – 3.321\mathbf{a}_y + 0.418\mathbf{a}_z \times 10^{-3}) + (-0.054\mathbf{a}_x + 0.072\mathbf{a}_y + 1.080\mathbf{a}_z \times 10^{-3})$$
$$F_{total} = (3.942 – 0.054)\mathbf{a}_x + (-3.321 + 0.072)\mathbf{a}_y + (0.418 + 1.080)\mathbf{a}_z \times 10^{-3}$$
$$F_{total} = 3.888\mathbf{a}_x – 3.249\mathbf{a}_y + 1.498\mathbf{a}_z \times 10^{-3}$$
Kita hitung magnitudonya
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(3.888 \times 10^{-3})^2 + (-3.249 \times 10^{-6})^2 + (1.498 \times 10^{-6})^2}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(15.116 \times 10^{-6}) + (10.556 \times 10^{-6}) + (2.244 \times 10^{-6})}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(15.116 + 10.556 + 2.244) \times 10^{-6}}$$
$$|\mathbf{F}_m| = \sqrt{(27.916) \times 10^{-6}}$$
$$|\mathbf{F}_m| = 5.283 \times 10^{-3} \text{ N}$$
