Distribusi suhu keadaan tunak (steady-state) pada material semitransparan dengan konduktivitas termal $k$ dan ketebalan $L$ yang dikenai iradiasi laser memiliki bentuk
$$T(x) = -\frac{A}{ka^2}e^{-ax} + Bx + C$$
di mana $A$, $a$, $B$, dan $C$ adalah konstanta yang diketahui. Dalam situasi ini, penyerapan radiasi di dalam material dimanifestasikan oleh suku pembangkitan panas terdistribusi, $q_x(x)$.
(a) Tentukan persamaan untuk fluks panas konduksi pada permukaan depan dan belakang.
(b) Turunkan persamaan untuk $q_x(x)$.
(c) Turunkan persamaan untuk laju penyerapan radiasi di seluruh material, per satuan luas permukaan. Nyatakan hasil kamu dalam bentuk konstanta yang diketahui untuk distribusi suhu, konduktivitas termal material, dan ketebalannya.
(a) Persamaan Fluks Panas Konduksi pada Permukaan Depan dan Belakang
Kita turunkan suhu terhadap posisi untuk pertama kalinya
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} \left[-\frac{A}{ka^2}e^{-ax} + Bx + C \right]$$
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} \left[-\frac{A}{ka^2}e^{-ax} \right] + \frac{d}{dx}[Bx] + \frac{d}{dx}[C]$$
$$\frac{dT}{dx} = \frac{A}{ka}e^{-ax} + B$$
Kita gunakan persamaan umum fluks panas konduksi
$$q”_x (x) = -k \frac{dT}{dx}$$
$$q”_x (x) = -k \left(\frac{A}{ka}e^{-ax} + B \right)$$
$$q”_x (x) = -\frac{A}{a}e^{-ax} – kB$$
Kita uji pada permukaan depan ($x = 0$)
$$q”_x (x) = -\frac{A}{a}e^{-ax} – kB$$
$$q”_x (0) = -\frac{A}{a}e^{-a(0)} – kB$$
$$q”_x (0) = -\frac{A}{a}e^{0} – kB$$
$$q”_x (0) = -\frac{A}{a} – kB$$
Kita uji pada permukaan belakang ($x = L$)
$$q”_x (x) = -\frac{A}{a}e^{-ax} – kB$$
$$q”_x (L) = -\frac{A}{a}e^{-a(L)} – kB$$
$$q”_x (L) = -\frac{A}{a}e^{-aL} – kB$$
(b) Persamaan untuk Suku Pembangkitan Panas Volumetrik $\dot{q}(x)$
Kita turunkan suhu terhadap posisi untuk kedua kalinya
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = \frac{d}{dx} \left[\frac{A}{ka}e^{-ax} + B \right]$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = \frac{d}{dx} \left[\frac{A}{ka}e^{-ax} \right] + \frac{d}{dx}[B]$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = -\frac{A}{k}e^{-ax}$$
Kita manipulasi persamaan difusi kalor keadaan tunak
$$k \frac{d^2 T}{d x^2} + \dot{q} = 0 \rightarrow \dot{q} = -k \frac{d^2 T}{d x^2}$$
$$\dot{q}(x) = -k \frac{d^2 T}{d x^2} \rightarrow \dot{q} = -k \left(-\frac{A}{k}e^{-ax} \right) \rightarrow \dot{q} = Ae^{-ax}$$
(c) Laju Penyerapan Radiasi Total per Satuan Luas ($q”_{abs}$)
Kita integrasikan pembangkitan panas terdistribusi $\dot{q}(x)$ dari $x = 0$ hingga $x = L$
$$q”_{abs} = \int_{0}^{L} \dot{q}(x) \ dx$$
$$q”_{abs} = \int_{0}^{L} A e^{-ax} \ dx$$
$$q”_{abs} = \left[-\frac{A}{a} e^{-ax} \right]_{0}^{L}$$
$$q”_{abs} = \left[-\frac{A}{a} e^{-a(L)} \right] – \left[-\frac{A}{a} e^{-a(0)} \right]$$
$$q”_{abs} = -\frac{A}{a} e^{-aL} + \frac{A}{a}$$
$$q”_{abs} = \frac{A}{a} (1 – e^{-aL})$$
