Sebuah tanur untuk memproses material semikonduktor terdiri dari ruang silikon karbida yang dipanaskan secara zona pada bagian atas dan didinginkan pada bagian bawah. Saat elevator berada di posisi terendah, lengan robot menempatkan wafer silikon pada pin penyangga. Dalam operasi produksi, wafer dipindahkan dengan cepat menuju zona panas untuk mencapai profil suhu terhadap waktu yang diperlukan bagi resep proses tersebut. Pada posisi ini, permukaan atas dan bawah wafer masing-masing bertukar radiasi dengan zona panas dan zona dingin di dalam ruang tanur. Suhu zona adalah $T_h = 1500 \text{ K}$ dan $T_c = 330 \text{ K}$, sedangkan emisivitas dan ketebalan wafer masing-masing adalah $\varepsilon = 0,65$ dan $d = 0,78 \text{ mm}$. Dengan suhu gas lingkungan $T_\infty = 700 \text{ K}$, koefisien konveksi pada permukaan atas dan bawah wafer masing-masing adalah $8 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$ dan $4 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$. Wafer silikon memiliki massa jenis $2700 \text{ kg/m}^3$ dan kalor jenis $875 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$.
(a) Untuk kondisi awal dengan suhu wafer $T_{w,i} = 300 \text{ K}$ dan posisi wafer seperti yang ditunjukkan secara skematis, tentukan laju perubahan suhu wafer terhadap waktu pada kondisi tersebut, $\left(\frac{dT_{w,i}}{dt} \right)$.
(b) Tentukan suhu keadaan tunak (steady-state) yang dicapai wafer jika ia tetap berada pada posisi tersebut. Seberapa signifikan perpindahan panas konveksi dalam situasi ini? Buatlah sketsa perkiraan variasi suhu wafer sebagai fungsi dari jarak vertikal.
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Suhu Zona Panas di Atas ($T_h$): $1500 \text{ K}$
- Suhu Zona Panas di Bawah ($T_c$): $330 \text{ K}$
- Suhu Gas Lingkungan ($T_\infty$): $700 \text{ K}$
- Suhu Wafer Silikon ($T_{w,i}$): $300 \text{ K}$
- Ketebalan Silikon ($d$) = $0,78 \times 10^{-3} \text{ m}$
- Massa Jenis Silikon ($\rho$) = $2700 \text{ kg/m}^3$
- Kalor Jenis Silikon ($c$) = $875 \text{ J/kg}\cdot\text{K}$
- Koefisien konveksi atas ($h_1$) = $8 \text{ W/m}^2\cdot\text{K}$
- Koefisien konveksi bawah ($h_2$) = $4 \text{ W/m}^2\cdot\text{K}$
- Emisivitas Kedua Permukaan ($\varepsilon$) = $0,65$
- Konstanta Stefan-Boltzmann ($\sigma$) = $5,67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2\cdot\text{K}^4$
(a) Laju Perubahan Suhu Awal Wafer terhadap Waktu, $\left(\frac{dT_{w,i}}{dt} \right)$
Karena wafer silikon sangat tipis ($0,78 \text{ mm}$) dan memiliki konduktivitas termal yang tinggi, kita dapat mengabaikan perbedaan suhu internal wafer dan menggunakan Metode Kapasitansi Terpusat. Persamaan kesetimbangan energi pada wafer dengan luas permukaan atas dan bawah masing-masing sebesar $A$ adalah:
$$\dot{E}_{\text{masuk}} – \dot{E}_{\text{keluar}} = \dot{E}_{\text{tersimpan}}$$
$$[q”_{\text{rad, atas}} + q”_{\text{konv, atas}} + q”_{\text{konv, bawah}}] – q”_{\text{rad, bawah}} = \rho \cdot d \cdot c \cdot \frac{dT_w}{dt}$$
$$[\varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_h^4 – T_{w,i}^4) + h_1 \cdot (T_\infty – T_{w,i}) + h_2 \cdot (T_\infty – T_{w,i})] – \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_{w,i}^4 – T_c^4) = \rho \cdot d \cdot c \cdot \frac{dT_w}{dt}$$
Kita hitung kalor radiasi atas
$$q”_{\text{rad, atas}} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_h^4 – T_{w,i}^4)$$
$$q”_{\text{rad, atas}} = 0,65 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((15 \times 10^2)^4 – (3 \times 10^2)^4)$$
$$q”_{\text{rad, atas}} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot (50625 \times 10^8 – 81 \times 10^8)$$
$$q”_{\text{rad, atas}} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot 50544 \times 10^8$$
$$\mathbf{q”_{\text{rad, atas}} = 186254,640 \text{ W/m}^2}$$
Kita hitung kalor konveksi atas
$$q”_{\text{konv, atas}} = h_1 \cdot (T_\infty – T_{w,i})$$
$$q”_{\text{konv, atas}} = 8 \cdot (700 – 300)$$
$$q”_{\text{konv, atas}} = 8 \cdot 400$$
$$\mathbf{q”_{\text{konv, atas}} = 3200 \text{ W/m}^2}$$
Kita hitung kalor konveksi bawah
$$q”_{\text{konv, bawah}} = h_2 \cdot (T_\infty – T_{w,i})$$
$$q”_{\text{konv, bawah}} = 4 \cdot (700 – 300)$$
$$q”_{\text{konv, bawah}} = 4 \cdot 400$$
$$\mathbf{q”_{\text{konv, bawah}} = 1600 \text{ W/m}^2}$$
Kita hitung kalor radiasi bawah
$$q”_{\text{rad, bawah}} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_{w,i}^4 – T_c^4)$$
$$q”_{\text{rad, bawah}} = 0,65 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((3 \times 10^2)^4 – (3,3 \times 10^2))$$
$$q”_{\text{rad, bawah}} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot (81 \times 10^8 – 118,592 \times 10^8)$$
$$q”_{\text{rad, bawah}} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot -37,592 \times 10^8$$
$$\mathbf{q”_{\text{rad, bawah}} = -138,526 \text{ W/m}^2}$$
Kita hitung kalor keseluruhan
$$q_{selisih} = q”_{\text{rad, atas}} + q”_{\text{konv, atas}} + q”_{\text{konv, bawah}} – q”_{\text{rad, bawah}}$$
$$q_{selisih} = 186254,640 + 3200 + 1600 + 138,526$$
$$\mathbf{q_{selisih} = 191193,166 \text{ W/m}^2}$$
Kita susun ulang persamaan untuk mencari laju perubahan suhu terhadap waktu
$$q_{selisih} = \rho \cdot d \cdot c \cdot \frac{dT_w}{dt}$$
$$19193,166 = 2700 \cdot 0,78 \cdot 875 \cdot \frac{dT_w}{dt}$$
$$19193,166 = 1842,750 \cdot \frac{dT_w}{dt}$$
$$\frac{dT_w}{dt} = \frac{191193,166}{1842,750}$$
$$\mathbf{\frac{dT_w}{dt} = 103,754 \text{ K/s}}$$
(b) Suhu Keadaan Tunak (Steady-State) Wafer, $T_{w,\text{ss}}$
Pada keadaan tunak (steady-state), laju penyimpanan energi menjadi nol ($\frac{dT_w}{dt} = 0$). Maka kesetimbangan energinya adalah:
$$[q”_{\text{rad, atas}} + q”_{\text{konv, atas}} + q”_{\text{konv, bawah}}] – q”_{\text{rad, bawah}} = 0$$
$$[q”_{\text{rad, atas}} + q”_{\text{konv, atas}} + q”_{\text{konv, bawah}}] = q”_{\text{rad, bawah}}$$
$$[\varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_h^4 – T_{w,ss}^4) + h_1 \cdot (T_\infty – T_{w,ss}) + h_2 \cdot (T_\infty – T_{w,ss})] = \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_{w,ss}^4 – T_c^4)$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$0,65 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot (1500^4 – T_{w,ss}^4) + 8 \cdot (700 – T_{w,ss}) + 4 \cdot (700 – T_{w,ss}) = 0,65 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot (T_{w,ss}^4 – 330^4)$$
$$3,685 \times 10^{-8} \cdot ((15 \times 10^2)^4 – T_{w,ss}^4) + 5600 – 8T_{w,ss} + 2800 – 4T_{w,ss} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot (T_{w,ss}^4 – (3,3 \times 10^2)^4)$$
$$3,685 \times 10^{-8} \cdot (50625 \times 10^8 – T_{w,ss}^4) + 5600 – 8T_{w,ss} + 2800 – 4T_{w,ss} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot (T_{w,ss}^4 – 118,592 \times 10^8)$$
$$186553,125 – 3,685 \times 10^{-8} T_{w,ss}^4 + 5600 – 8T_{w,ss} + 2800 – 4T_{w,ss} = 3,685 \times 10^{-8} T_{w,ss}^4 – 473,011$$
$$186553,125 – 3,685 \times 10^{-8} T_{w,ss}^4 + 5600 – 8T_{w,ss} + 2800 – 4T_{w,ss} – 3,685 \times 10^{-8} T_{w,ss}^4 + 473,011 = 0$$
$$195426,136 – 7,370 \times 10^{-8} T_{w,ss}^4 – 12T_{w,ss} = 0$$
$$195426,136 = 7,370 \times 10^{-8} T_{w,ss}^4 + 12T_{w,ss}$$
Persamaan non-linear pangkat empat ini dapat diselesaikan dengan metode iterasi/trial-error
$$\mathbf{T_s \approx 1252 \text{ K}} \text{ atau } \mathbf{T_s \approx 979^\circ \text{C}}$$
Signifikan Konveksi dalam Kasus Ini
Kita hitung fluks panas konveksi neto
$$q”_{konv} = (h_1 + h_2)(T_\infty – T_{w,ss})$$
$$q”_{konv} = (8 + 4)(700 – 1252)$$
$$q”_{konv} = 12 \cdot -552$$
$$\mathbf{q”_{konv} = -6624 \text{ W/m}^2}$$
Kita hitung fluks radiasi masuk neto
$$q”_{rad,masuk} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_h^4 – T_{w,ss}^4)$$
$$q”_{rad,masuk} = 0,65 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot (1500^4 – 1252^4)$$
$$q”_{rad,masuk} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot ((15 \times 10^2)^4 – (12,52 \times 10^2)^4)$$
$$q”_{rad,masuk} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot (50625 \times 10^8 – 24570,687 \times 10^8)$$
$$q”_{rad,masuk} = 3,685 \times 10^{-8} \cdot 26054,313 \times 10^8$$
$$\mathbf{q”_{rad,masuk} = 96010 \text{ W/m}^2}$$
Kehilangan panas secara konveksi ($-6624 \text{ W/m}^2$) hanya mencakup sekitar $6,89\%$ dari total perpindahan panas radiasi yang dominan ($96010 \text{ W/m}^2$). Jadi, konveksi di dalam situasi bersuhu tinggi ini tidak terlalu signifikan, karena transfer energi digerakkan secara dominan oleh radiasi pangkat empat dari zona panas.
