(a) Turunkan persamaan kerapatan bidang untuk bidang (100) dan (110) pada struktur BCC dalam bentuk jari-jari atom R.
(b) Hitung dan bandingkan nilai kerapatan bidang untuk kedua bidang tersebut pada Molibdenum (Mo).
Kita selesaikan masalah tersebut
(a) Persamaan Kerapatan Bidang
Seperti yang sudah kita singgung sebelumnya, struktur BCC berarti kubus yang memiliki atom pada setiap sudut kubus dan juga pusat dari kubus. Sehingga, jumlah atom yang termuat adalah 9 atom. Jika kita lihat dengan jelas, rusuk kubus berarti berada dari jari-jari atom pertama menuju jari-jari atom kedua, dengan memperhitungkan atom pusat. Sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa rusuk kubus adalah empat kali jari-jari dibagi akar tiga.
$$a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$$
Untuk mencari nilai kerapatan bidang (planar density), kita cukup membagi nilai jumlah atom dengan luas bidang
$$\text{Planar Density} = \frac{\text{Jumlah Atom}}{\text{Luas Bidang}}$$
Nah, dari sini barulah kita bisa menebak berapa nilai bidangnya.
Bidang (100) (Persegi dalam Bidang YZ)
Dari titik asal $(0,0,0)$ menuju $(1,0,0)$, ini akan membentuk bidang persegi, dengan sisi pertama sumbu $y$ dan sisi kedua sumbu $z$. Karena rusuk kubus bernilai sama semua, artinya kita bisa mencari nilai luas dengan mengalikan sisi pertama dengan sisi kedua.
$$\text{Luas Bidang} = \text{ Sisi Pertama} \cdot \text{ Sisi Kedua}$$
$$\text{Luas Bidang} = \frac{4R}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}}$$
$$\text{Luas Bidang} = \frac{16R^2}{3}$$
Garis yang terbentuk juga melewati empat jari-jari atom sudut yang masing-masing mengisi seperempat.
$$\text{Jumlah Atom} = \text{Atom Teriris} \times \text{Atom Terhitung}$$
$$\text{Jumlah Atom} = \frac{1}{4} \times 4$$
$$\text{Jumlah Atom} = 1$$
Maka kita bisa menghitung rumus kerapatan bidangnya.
$$\mathbf{PD_{[1,0,0]} = \frac{1}{\frac{16R^2}{3}} = \frac{3}{16R^2}}$$
Bidang (100) (Persegi Panjang dengan Alas Diagonal XY)
Dari titik asal $(0,0,0)$ menuju $(1,1,0)$, ini akan membentuk bidang persegi panjang, dengan panjang diagonal $xy$, dan lebarnya adalah rusuk kubus. Kita bisa menghitung luas persegi panjang dengan teorema Pythagoras.
$$\text{Diagonal Persegi} = \sqrt{\text{Sisi Pertama}^2 + \text{Sisi Pertama}^2}$$
$$\text{Diagonal Persegi} = \sqrt{a^2 + a^2}$$
$$\text{Diagonal Persegi} = \sqrt{2a^2}$$
$$\text{Diagonal Persegi} = a\sqrt{2}$$
Sesuai kesepakatan umum bahwa diagonal persegi adalah alas persegi panjang dan rusuk kubus adalah lebar persegi panjang.
$$\text{Panjang} = a\sqrt{2}$$
Sehingga, kita bisa mencari nilai dari luas persegi panjang.
$$\text{Luas Persegi Panjang} = \text{Panjang} \cdot \text{Lebar}$$
$$\text{Luas Persegi Panjang} = a\sqrt{2} \cdot a$$
$$\text{Luas Persegi Panjang} = a^2\sqrt{2}$$
Dengan substitusi nilai rusuk sesuai jari-jari atom
$$\text{Luas Persegi Panjang} = \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \sqrt{2}$$
$$\text{Luas Persegi Panjang} = \frac{16R^2}{3} \cdot \sqrt{2}$$
$$\text{Luas Persegi Panjang} = \frac{16R^2 \sqrt{2}}{3}$$
Garis yang terbentuk juga melewati tiga jari-jari atom sudut.
$$\text{Jumlah Atom} = \text{Atom Teriris} \times \text{Atom Terhitung} + \text{Atom Pusat}$$
$$\text{Jumlah Atom} = \frac{1}{4} \times 4 + 1$$
$$\text{Jumlah Atom} = 1 + 1$$
$$\text{Jumlah Atom} = 2$$
Maka kita bisa menghitung rumus kerapatan bidangnya.
$$\mathbf{PD_{(110)} = \frac{2}{\frac{16R^2 \sqrt{2}}{3}} = \frac{6}{16R^2\sqrt{2}} = \frac{3}{8R^2\sqrt{2}}}$$
(b) Perhitungan dan Perbandingan pada Molibdenum (Mo)
Molibdenum (Mo) memiliki struktur kristal BCC dengan jari-jari atom $R = 0,139 \text{ nm}$ (atau $1,39 \times 10^{-10} \text{ m}$).
- Nilai untuk bidang $(100)$
$$PD_{(110)} = \frac{3}{16 \cdot (1,39 \times 10^{-10})^2}$$
$$PD_{(110)} = \frac{3}{16 \cdot 1,932 \times 10^{-20}}$$
$$PD_{(110)} = \frac{3}{30,912 \times 10^{-20}}$$
$$\mathbf{PD_{(110)} = 9,704 \times 10^{18} \text{ m}^{-2}}$$
- Nilai untuk bidang $(110)$
$$PD_{(110)} = \frac{3}{8 \cdot (1,43 \times 10^{-10})^2 \cdot 1,414}$$
$$PD_{(110)} = \frac{3}{11,312 \cdot 1,932 \times 10^{-20}}$$
$$PD_{(110)} = \frac{3}{21,854 \times 10^{-20}}$$
$$\mathbf{PD_{(110)} = 1,372 \times 10^{19} \text{ m}^{-2}}$$
Untuk menghitung perbandingannya, kita bandingkan rasionya saja.
$$\frac{3}{16R^2} : \frac{3}{8R^2\sqrt{2}} \implies 24R^2\sqrt{2} : 48R^2 \implies \sqrt{1152R^4 : 2304R^4} \implies 1 : \sqrt{2}$$
