(a) Turunkan persamaan rapat bidang untuk bidang HCP (0001) dalam suku jari-jari atom R.
(b) Hitung nilai rapat bidang untuk bidang yang sama tersebut bagi titanium (Ti).
(a) Penurunan Persamaan Rapat Bidang HCP $(0001)$
Bidang $(0001)$ pada struktur HCP merupakan bidang dasar (alas atau atap) dari sel satuan heksagonal. Pada bidang ini, atom-atom tersusun dalam bentuk heksagonal sama sisi yang saling bersentuhan secara rapat (close-packed plane).
Pada struktur Hexagonal-Closed Packed (HCP), kita bisa mengetahui bahwa itu adalah satruktur prisma segi enam. Terdapat atom sudut pada setiap sudut segi enam, satu atom pusat pada masing-masing segi enam, dan tiga atom pada tengah prisma yang membentuk segitiga sama sisi. Sehingga, melalui pemahaman ini, kita bisa menyimpulkan bahwa ada 7 atom pada alas prsima, 3 atom pada tengah prisma dan 7 atom pada tutup prisma. Selain itu, rusuk segi enam juga dapat dianggap sebagai dua kali jari jari.
$$a = 2r$$
Segi enam ideal dapat dipecah menjadi enam segitiga sama sisi. Nah, kesamaan sisi tersebut adalah rusuk segi enam, yang bernilai $2r$. Untuk mencari tinggi segitiga sama sisi, kita harus menggunakan teorema Pythagoras. Nah, dengan mengetahui luas segitiga sama sisi tersebut, barulah kita bisa mengetahui luas segi enam tersebut.
Kita cari tinggi segitiga
$$\text{Tinggi Segitiga} = \text{Diagonal Segitiga}^2 – \text{Alas Segitiga}$$
$$\text{Tinggi Segitiga} = (2r)^2 – r^2$$
$$\text{Tinggi Segitiga} = 4r^2 – r^2$$
$$\text{Tinggi Segitiga} = r\sqrt{3}$$
Kita cari luas segitiga
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} \cdot \text{Alas} \cdot \text{Tinggi}$$
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot r\sqrt{3}$$
$$\text{Luas Segitiga} = r^2\sqrt{3}$$
Kita cari luas segienam
$$\text{Luas Segienam} = \text{Jumlah Segitiga} \cdot \text{Luas Segitiga}$$
$$\text{Luas Segienam} = 6 \cdot r^2\sqrt{3}$$
$$\text{Luas Segienam} = 6r^2\sqrt{3}$$
Alas segienam tersebut mempunyai 6 atom sudut dan 1 atom pusat. Atom sudut yang termuat adalah sebesar $\frac{1}{3}$ dan atom pusat yang termuat adalah sebesar 1.
$$\text{Jumlah Atom} = \text{Atom Teriris} \times \text{Atom Terhitung} + \text{Atom Pusat}$$
$$\text{Jumlah Atom} = \frac{1}{3} \times 6 + 1$$
$$\text{Jumlah Atom} = 2 + 1 = 3$$
Maka kita bisa menghitung rumus kerapatan bidangnya.
$$\mathbf{PD_{(0001)} = \frac{3}{6R^2\sqrt{3}} = \frac{1}{2R^2\sqrt{3}}}$$
(b) Perhitungan pada Titanium (Ti)
Titanium (Ti) memiliki struktur kristal FCC dengan jari-jari atom $R = 0,147 \text{ nm}$ (atau $1,47 \times 10^{-10} \text{ m}$).
$$PD_{(0001) = \frac{1}{2R^2\sqrt{3}}$$
$$PD_{(0001) = \frac{1}{2 \cdot (1,47 \times 10^{-10})^2 \cdot 1,732}$$
$$PD_{(0001) = \frac{1}{3,464 \cdot 2,160 \times 10^{-20}}$$
$$PD_{(0001) = \frac{1}{7,482 \times 10^{-20}}$$
$$PD_{(0001) = \mathbf{1,336 \times 10^{19} \text{ m}^{-2}}$$
