(a) Turunkan persamaan kerapatan bidang untuk bidang (100) dan (111) pada struktur FCC dalam bentuk jari-jari atom R.
(b) Hitung dan bandingkan nilai kerapatan bidang untuk kedua bidang tersebut pada aluminium (Al).
Kita selesaikan masalah tersebut
(a) Persamaan Kerapatan Bidang
Seperti yang sudah kita singgung sebelumnya, struktur FCC berarti kubus yang memiliki atom pada setiap sudut kubus dan juga pusat dari persegi. Sehingga, jumlah atom yang termuat adalah 14 atom. Jika kita lihat dengan jelas, rusuk kubus berarti berada dari jari-jari atom pertama menuju jari-jari atom kedua, dengan memperhitungkan atom pusat. Sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa rusuk kubus adalah dua kali jari-jari dikali akar dua.
$$a = 2R\sqrt{2}$$
Untuk mencari nilai kerapatan bidang (planar density), kita cukup membagi nilai jumlah atom dengan luas bidang
$$\text{Planar Density} = \frac{\text{Jumlah Atom}}{\text{Luas Bidang}}$$
Nah, dari sini barulah kita bisa menebak berapa nilai bidangnya.
Bidang (100) (Persegi dalam Bidang YZ)
Dari titik asal $(0,0,0)$ menuju $(1,0,0)$, ini akan membentuk bidang persegi, dengan sisi pertama sumbu $y$ dan sisi kedua sumbu $z$. Karena rusuk kubus bernilai sama semua, artinya kita bisa mencari nilai luas dengan menguadratkan rusuk.
$$\text{Luas Bidang} = \text{Sisi Pertama} \times \text{Sisi Kedua}$$
$$\text{Luas Bidang} = a \times a$$
$$\text{Luas Bidang} = a^2$$
Dengan substitusi nilai rusuk sesuai jari-jari atom
$$\text{Luas Persegi} = (2R\sqrt{2})^2$$
$$\text{Luas Persegi} = 8R^2$$
Garis yang terbentuk juga melewati empat jari-jari atom sudut yang masing-masing mengisi seperempat dan satu atom pusat.
$$\text{Jumlah Atom} = \text{Atom Teriris} \times \text{Atom Terhitung} + \text{Atom Pusat}$$
$$\text{Jumlah Atom} = \frac{1}{4} \times 4 + 1$$
$$\text{Jumlah Atom} = 1 + 1 = 2$$
Maka kita bisa menghitung rumus kerapatan bidangnya.
$$\mathbf{PD_{(100)} = \frac{2}{8R^2} = \frac{1}{4R^2}}$$
Bidang (111) (Segitiga Sama Sisi dengan Alas Diagonal XY)
Dari titik asal $(0,0,0)$ menuju $(1,1,1)$, ini akan membentuk bidang segitiga sama sisi, dengan alas diagonal $xy$, sisi miring diagonal $xz$ dan sisi miring diagonal $yz$. Kita bisa menghitung tinggi segitiga sama sisi dengan teorema Pythagoras.
$$\text{Tinggi Segitiga} = \text{Diagonal Segitiga} – \text{Alas Segitiga}$$
$$\text{Tinggi Segitiga} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 – \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2}$$
$$\text{Tinggi Segitiga} = \sqrt{2a^2 – \left(\frac{2}{4}a^2\right)}$$
$$\text{Tinggi Segitiga} = \sqrt{\frac{8}{4}a^2 – \frac{2}{4}a^2}$$
$$\text{Tinggi Segitiga} = \sqrt{\frac{6}{4}a^2}$$
$$\text{Tinggi Segitiga} = \frac{\sqrt{6}}{2}a$$
Sesuai kesepakatan umum bahwa diagonal alas kubus adalah diagonal persegi yang menjadi alas segitiga.
$$\text{Alas Segitiga} = a\sqrt{2}$$
Sehingga, kita bisa mencari nilai dari luas segitiga.
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} \cdot \text{Alas Segitiga} \cdot \text{Tinggi Segitiga}$$
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}a$$
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$$
Dengan substitusi nilai rusuk sesuai jari-jari atom
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2R\sqrt{2})^2$$
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8R^2$$
$$\text{Luas Segitiga} = 4R^2\sqrt{3}$$
Garis yang terbentuk juga melewati tiga jari-jari atom sudut dan tiga jari-jari atom pusat persegi.
$$\text{Jumlah Atom} = \Sigma \text{Atom Teriris} \times \text{Atom Terhitung}$$
$$\text{Jumlah Atom} = \frac{1}{6} \times 3 + \frac{1}{2} \times 3$$
$$\text{Jumlah Atom} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$$
$$\text{Jumlah Atom} = 2$$
Maka kita bisa menghitung rumus kerapatan bidangnya.
$$\mathbf{PD_{(111)} = \frac{2}{4R^2\sqrt{3}} = \frac{1}{2R^2\sqrt{3}}}$$
(b) Perhitungan dan Perbandingan pada Besi (Fe)
Besi (Fe) memiliki struktur kristal FCC dengan jari-jari atom $R = 0,126 \text{ nm}$ (atau $1,26 \times 10^{-10} \text{ m}$).
Nilai untuk bidang $(100)$
$$PD_{(100)} = \frac{1}{4 \cdot (1,26 \times 10^{-10})^2}$$
$$PD_{(100)} = \frac{1}{4 \cdot 1,587 \times 10^{-20}}$$
$$PD_{(100)} = \frac{1}{6,348 \times 10^{-20}}$$
$$\mathbf{PD_{(100)} = 1,576 \times 10^{19} \text{ m}^{-2}}$$
Nilai untuk bidang $(111)$
$$PD_{(111)} = \frac{1}{2 \cdot (1,26 \times 10^{-10})^2 \cdot 1,732}$$
$$PD_{(111)} = \frac{1}{3,464 \cdot 1,587 \times 10^{-20}}$$
$$PD_{(111)} = \frac{1}{5,497 \times 10^{-20}}$$
$$\mathbf{PD_{(111)} = 1,819 \times 10^{19} \text{ m}^{-2}}$$
Untuk menghitung perbandingannya, kita bandingkan rasionya saja.
