(a) Turunkan persamaan rapat linear untuk struktur BCC pada arah $[1,1,0]$ dan $[1,1,1]$ dalam bentuk jari-jari atom R.
(b) Hitung dan bandingkan nilai rapat linear untuk kedua arah tersebut pada besi (Fe).
Kita selesaikan masalah tersebut
(a) Persamaan Kerapatan Linear
Seperti yang sudah kita singgung sebelumnya, struktur BCC berarti kubus yang memiliki atom pada setiap sudut kubus dan juga pusat dari kubus. Sehingga, jumlah atom yang termuat adalah 9 atom. Jika kita lihat dengan jelas, rusuk kubus berarti berada dari jari-jari atom pertama menuju jari-jari atom kedua, dengan memperhitungkan atom pusat. Sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa rusuk kubus adalah empat kali jari-jari dibagi akar tiga.
$$a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$$
Untuk mencari nilai kerapatan linear (linear density), kita cukup membagi jumlah atom dengan nilai skalar vektor
$$\text{Linear Density} = \frac{\text{Jumlah Atom}}{\text{Skalar Vektor}}$$
Nah, dari sini barulah kita bisa menebak berapa nilai skalarnya
Koordinat $[1,1,0]$ (Diagonal Bidang XY Bawah)
Dari titik asal $[0,0,0]$ menuju $[1,1,0]$, itu artinya berpindah sebesar diagonal bidang persegi. Diagonal bidang persegi adalah hasil kalkulasi Pythagoras dari sisi pertama dengan sisi kedua. Garis yang terbentuk melewati kedua jari-jari atom. Nilainya sebesar $a\sqrt{2}$
$$\text{ Jumlah Atom} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
$$\text{ Skalar Vektor} = \frac{4R}{\sqrt{3}}(\sqrt{2}) = \frac{4R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$
$$\mathbf{LD_{[1,1,0]} = \frac{1}{\frac{4R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{4R\sqrt{2}}}$$
Koordinat $[1,1,1]$ (Diagonal Ruang Kubus)
Dari titik asal $[0,0,0]$ menuju $[1,1,1]$, itu artinya berpindah sebesar diagonal ruang kubus. Bidang yang terbentuk adalah segitiga sama sisi dengan masing-masing panjang adalah $a\sqrt{2}$. Garis yang terbentuk melewati kedua jari-jari atom dan satu diameter atom. Nilainya sebesar $a\sqrt{3}$
$$\text{ Jumlah Atom} = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2$$
$$\text{ Skalar Vektor} = \frac{4R}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}) = 4R$$
$$\mathbf{LD_{[1,1,1]} = \frac{2}{4R} = \frac{1}{2R}}$$
(b) Perhitungan dan Perbandingan pada Besi (Fe)
Besi (Fe) memiliki struktur kristal BCC dengan jari-jari atom $R = 0,124 \text{ nm}$ (atau $1,24 \times 10^{-10} \text{ m}$).
- Nilai untuk arah $[1,1,0]$
$$LD_{[1,1,0]} = \frac{1,732}{4 \cdot 1,24 \times 10^{-10} \cdot 1,414}$$
$$LD_{[1,1,0]} = \frac{1,732}{7,013 \times 10^{-10}}$$
$$\mathbf{LD_{[1,1,0]} = 0,246 \times 10^{9} \text{ m}^{-1}}$$
- Nilai untuk arah $[1,1,1]$
$$LD_{[1,1,1]} = \frac{1}{2 \cdot 1,24 \times 10^{-10}}$$
$$LD_{[1,1,1]} = \frac{1}{2,48 \times 10^{-10}}$$
$$\mathbf{LD_{[1,1,1]} = 4,032 \times 10^{9} \text{ m}^{-1}}$$
Untuk menghitung perbandingannya, kita bandingkan rasionya saja.
