Tunjukkan bahwa faktor pengepakan atom untuk FCC adalah 0,74.
Berbeda dengan body-centered cubic (BCC), struktur face-centered cubic (FCC) tetap menggunakan kubus, namun geometrisnya berbeda jauh.
Kita bisa membayangkan bahwa suatu kubus memiliki atom pada setiap sudut, dan atom pada setiap pusat sisi segi empat. Karena masing-masing sudut kubus hanya bisa memuat satu per delapan volume bola, maka jumlah volume atom adalah delapan sudut dikali satu per delapan atom, sehingga menghasilkan tepat satu atom. Karena masing-masing pusat segi empat hanya bisa memuat setengah volume bola, maka jumlah volume atom adalah enam sisi dikali setengah atom, sehingga menghasilkan tepat tiga atom. Jumlah keseluruhan atom adalah 4, 1 dari sudut atom dan 3 dari pusat atom.
$$\text{Jumlah Atom} = \text{Atom Pusat} + \text{Atom Sudut}$$
$$\text{Jumlah Atom} = \frac{1}{8} \times 8 + \frac{1}{2} \times 6$$
$$\text{Jumlah Atom} = 1 + 3$$
$$\text{Jumlah Atom} = 4$$
Karena atom diasumsikan sebagai bola sempurna, maka volume atom dapat dicari dengan volume bola.
$$\text{Volume Atom} = \text{Jumlah Atom} \times \text{Volume Bola}$$
$$\text{Volume Atom} = 4 \times \frac{4}{3}\pi r^3$$
$$\text{Volume Atom} = \frac{16}{3}\pi r^3$$
Dari bentuk kubus, kita ambil salah satu persegi. Persegi tersebut bisa kita cari diagonalnya menggunakan rumus Pythagoras, yaitu dari alas dan tinggi segitiga siku-siku.
$$\text{Diagonal Bidang} = \sqrt{\text{Rusuk Kubus Pertama(Alas)}^2 + \text{Rusuk Kubus Kedua(Tinggi)}^2}$$
$$\text{Diagonal Bidang} = \sqrt{a^2 + a^2}$$
$$\text{Diagonal Bidang} = a\sqrt{2}$$
Pada bentuk persegi, kita bisa menghitung berapa jari-jari atom. Pada sudut persegi yang pertama, terdapat satu jari-jari. Pada sudut persegi yang kedua, terdapat satu jari-jari. Pada pusat persegi, terdapat dua jari-jari. Sehingga jumlah keseluruhannya adalah empat jari-jari.
$$\text{Jari-Jari Keseluruhan} = \text{Jari-Jari Atom 1} + \text{Jari-Jari Atom 2} + \text{Jari-Jari Atom Pusat}$$
$$\text{Jari-Jari Keseluruhan} = r + r + 2r = 4r$$
Melalui kedua informasi tersebut, kita bisa mencari rusuk kubus dengan menggunakan nilai jari-jari atom.
$$a\sqrt{2} = 4r$$
$$a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$$
Kita hitung volume kubus dengan menggunakan nilai rusuk yang sudah diketahui.
$$\text{Volume Kubus} = a^3$$
$$\text{Volume Kubus} = \left(\frac{4r}{\sqrt{2}} \right)^3$$
$$\text{Volume Kubus} = \frac{64r^3}{2\sqrt{2}}$$
Berbekal data yang ada, kita bisa mencari nilai dari faktor pengepakan atom.
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{V_{atom}}{V_{Kubus}}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{\frac{16}{3}\pi r^3}{\frac{64r^3}{2\sqrt{2}}}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{32 \pi \sqrt{2} r^3}{192r^3}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{32 \pi \sqrt{2}}{192}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{3,142 \times 1,414}{6}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{4,442}{6}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = 0,7403$$
