Tunjukkan bahwa faktor pengepakan atom untuk HCP adalah 0,74.
Untuk memudahkan Anda memahami soal ini, Anda bisa mengunjungi artikel ini.
Menghitung Volume Atom
Bayangkan bentuk sebuah prisma segi enam. Nah, setiap sudut prisma diisi oleh masing-masing satu atom. Dalam prisma segi enam, sudut antara rusuknya adalah $120^\circ$. Kemudian, bagian atom yang beririsan dengan prisma adalah setengahnya. Itu artinya, bagian atom yang termuat dalam prisma segi enam adalah sebesar $\frac{1}{6}$, yang mana setengah atom terhitung didalam prisma, dan atom yang masuk adalah sepertiga atom. Karena prisma segi enam memiliki 6 sudut atom, maka perkalian antara atom yang termuat dengan jumlah akan membentuk tepat satu atom. Karena prisma segi enam memiliki 2 sisi segi enam, maka jumlah atomnya adalah 2. Selain itu, adanya atom di pusat prisma secara langsung membuat jumlah atom bertambah menjadi 3 atom.
$$\text{Atom Prisma} = \text{Atom Alas} + \text{Atom Pusat} + \text{Atom Tutup}$$
$$\text{Atom Prisma} = \frac{1}{2} \times \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 6 + \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2} \times \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 6$$
$$\text{Atom Prisma} = 3 \times \frac{1}{3} + 1 + 3 \times \frac{1}{3}$$
$$\text{Atom Prisma} = 1 + 1 + 1$$
$$\text{Atom Prisma} = 3$$
Pada soal sebelumnya, kita tahu bahwa di dalam segi enam, kita bisa membentuk piramida yang beralaskan segitiga sama sisi. Masing-masing piramida memiliki atom pada puncaknya, dan ada 3 piramida yang bisa dibentuk. Jumlah masing-masing atom dari setiap sudut segitiga adalah 3.
$$\text{Atom Piramida} = \text{Atom Sudut 1} + \text{Atom Sudut 1} + \text{Atom Sudut 1}$$
$$\text{Atom Piramida} = 1 + 1 + 1 = 3$$
Sehingga, melalui perhitungan yang cukup kompleks ini, jumlah atom yang terhitung adalah sebesar 6.
$$\text{Jumlah Atom} = \text{Atom Prisma} + \text{Atom Piramida}$$
$$\text{Jumlah Atom} = 3 + 3 = 6$$
Karena atom diasumsikan berbentuk bola sempurna, maka kita bisa mencari volume atom
$$\text{Volume Atom} = \text{Jumlah Atom} \times \text{Volume Bola}$$
$$\text{Volume Atom} = 6 \times \frac{4}{3}\pi r^3$$
$$\color{blue}\text{Volume Atom} = \frac{24}{3}\pi r^3$$
Menghitung Volume Prisma
Pada soal sebelumnya, kita sudah membuktikan bahwa segi enam ideal tersusun dari 6 segitiga sama sisi. Karena rusuk segi enam terhubung melalui jari-jari masing-masing atom, nilainya adalah 2r. Kita bisa memproyeksikan segitiga siku-siku dengan membelah 2 segitiga sama sisi tersebut. Hasilnya berupa alas sebesar r dan diagonal sebesar 2r. Melalui teorema Pythagoras, kita bisa mencari nilai dari tinggi segitiga.
$$\text{Tinggi} = \sqrt{\text{Diagonal}^2 – \text{Alas}^2}$$
$$\text{Tinggi} = \sqrt{(2r)^2 – (r)^2}$$
$$\text{Tinggi} = \sqrt{4r^2 – r^2}$$
$$\text{Tinggi} = r\sqrt{3}$$
Karena tinggi dari segitiga siku siku sama dengan tinggi dari segitiga sama sisi, maka kita bisa mencari luas segitiga sama sisi.
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} \times \text{Alas} \times \text{Tinggi}$$
$$\text{Luas Segitiga} = \frac{1}{2} \times 2r \times r\sqrt{3}$$
$$\text{Luas Segitiga} = r^2\sqrt{3}$$
Sesuai yang sudah kita bahas, segi enam tersusun atas enam segitiga sama sisi
$$\text{Luas Segienam} = \text{Luas Segitiga} \times \text{Jumlah Segitiga}$$
$$\text{Luas Segienam} = r^2\sqrt{3} \times 6$$
$$\text{Luas Segienam} = 6r^2\sqrt{3}$$
Pada soal sebelumnya, kita sudah membahas mengenai proyeksi segitiga sama sisi, sehingga melalui konsep Pythagoras, kita memperoleh bahwa tinggi prisma adalah
$$\text{Tinggi Prisma} = \frac{4r\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$
Dengan mengetahui luas prisma dan tinggi prisma, kita bisa mencari volume prisma
$$\text{Volume Prisma} = \text{Alas Prisma} \times \text{Tinggi Prisma}$$
$$\text{Volume Prisma} = 6r^2\sqrt{3} \times \frac{4r\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$
$$\color{blue}\text{Volume Prisma} = 24r^3\sqrt{2}$$
Menghitung Faktor Pengepakan
Sekarang, dengan mengetahui volume atom dan volume prisma, kita bisa mengetahui faktor pengepakan atom.
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{V_{atom}}{V_{Prisma}}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{\frac{24}{3}\pi r^3}{24r^3\sqrt{2}}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{24\pi r^3}{72r^3\sqrt{2}}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{24\pi}{72\sqrt{2}}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{3,1428}{3 \cdot 1,4142}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = \frac{3,1428}{4,2426}$$
$$\text{Atomic Packing Factor} = 0,7407$$
