Selesaikan persamaan diferensial parsial berikut:
$$\frac{1}{25} \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$
Syarat Batas (Boundary Conditions):
- $x = 0 \implies T = 10$
- $x = 2 \implies T = 0$
Syarat Awal (Initial Conditions):
- $t = 0 \implies T = 150$
- $t = 0 \implies \frac{\partial T}{\partial t} = 0$ (Kecepatan awal nol)
Konsep Dasar
$$\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} = 25 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$
Persamaan di atas adalah Persamaan Gelombang 1 Dimensi. Ketika menghadapi syarat batas non-homogen ($T(0,t) = 10$), metode standar pemisahan variabel tidak bisa langsung digunakan karena deret Fourier membutuhkan syarat batas yang bernilai nol (homogen).Untuk mengatasinya, kita membagi fungsi $T(x,t)$ menjadi dua bagian:
$$T(x,t) = v(x) + w(x,t)$$
Di mana:
- $v(x)$ (Solusi Stabil/Steady-state): Mengabsorpsi nilai syarat batas non-homogen dan hanya bergantung pada posisi $x$.
- $w(x,t)$ (Solusi Transien/Bergetar): Memenuhi persamaan gelombang homogen dengan syarat batas yang sudah diubah menjadi homogen (nol).
Solusi Keadaan Tunak
Karena $v(x)$ tidak bergantung pada waktu $t$, maka $\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = 0$.
$$25 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = 0$$
$$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = 0$$
Kita lakukan integrasi untuk mendapatkan $v(x)$
$$\int \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = \int 0$$
$$\frac{\partial v}{\partial x} = C_1$$
$$\int \frac{\partial v}{\partial x} = \int C_1$$
$$v(x) = C_1x + C_2$$
Terapkan batas syarat pertama, yaitu $v(0) = 10$
$$v(0) = C_1(0) + C_2$$
$$10 = 0 + C_2$$
$$C_2 = 10$$
Terapkan batas syarat kedua, yaitu $v(2) = 0$
$$v(2) = C_1(2) + 10$$
$$0 = 2C_1 + 10$$
$$2C_1 = -10$$
$$C_1 = -5$$
Maka persamaan $v(x)$ menjadi
$$v(x) = -5x + 10$$
Atau dalam bentuk lain
$$\mathbf{v(x) = -5(x + 2)}$$
Persamaan Homogen
$$\frac{1}{25} \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$
Asumsikan bahwa solusi umum $w (x,t)$ dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel
$$w (x,t) = X(x) \cdot T(t)$$
Artinya kita bisa menggunakan substitusi
- $X’ \text{ adalah turunan parsial pertama } w \text{ terhadap } x$
- $X” \text{ adalah turunan parsial kedua } w \text{ terhadap } x$
- $T’ \text{ adalah turunan parsial pertama } w \text{ terhadap } t$
- $T” \text{ adalah turunan parsial kedua } w \text{ terhadap } t$
Dengan asumsi sebelumnya, kita ubah bentuk persamaan tersebut
$$\frac{1}{25}X(x)T”(t) = X”(x)T(t)$$
$$\frac{\frac{1}{25}X(x)T”(t)}{X(x)T(t)} = \frac{X”(x)T(t)}{X(x)T(t)}$$
$$\frac{1}{25} \frac{T”(t)}{T(t)} = \frac{X”(x)}{X(x)}$$
Untuk memudahkan operasi, kita gunakan konstanta lain, misalkan $-\lambda^2$
$$\frac{1}{25} \frac{T”(t)}{T(t)} = \frac{X”(x)}{X(x)} = -\lambda^2$$
Kita susun persamaan diferensial bagian $T(t)$
$$\frac{1}{25} \frac{T”(t)}{T(t)} = -\lambda^2$$
$$\frac{T”(t)}{T(t)} = -25 \lambda^2$$
$$T”(t) = -25 \lambda^2 T(t)$$
$$T”(t) + 25 \lambda^2 T(t) = 0$$
Kita susun persamaan diferensial bagian $X(x)$
$$\frac{X”(x)}{X(x)} = -\lambda^2$$
$$X”(x) = -\lambda^2 X(x)$$
$$X”(x) + \lambda^2 X(x) = 0$$
Penyelesaian Persamaan X
$$X”(x) + \lambda^2 X(x) = 0$$
Untuk memudahkannya, kita misalkan $X(x)$ adalah $e^{rx}$
Kita turunkan pertama kali
$$X'(x) = \frac{d}{dx}(e^{rx})$$
$$X'(x) = re^{rx}$$
Kita turunkan kedua kali
$$X”(x) = \frac{d}{dx}(re^{rx})$$
$$X”(x) = r^2e^{rx}$$
Kita substitusikan ke dalam persamaan
$$r^2e^{rx} + \lambda^2 e^{rx} = 0$$
Karena nilai eksponensial mustahil adalah nol, maka bisa kita eliminasi
$$r^2 + \lambda^2 = 0$$
$$r^2 = -\lambda^2$$
$$r = \sqrt{-\lambda^2}$$
$$r = 0 \pm \lambda i$$
Penyelesaiannya bisa menggunakan ketiga solusi
- $\text{Akar real} \ (r_1 \neq r_2): X(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
- $\text{Akar kembar} \ (r_1 = r_2): X(x) = C_1e^{rx} + C_2te^{rx}$
- $\text{Akar kompleks} \ (\alpha \pm \beta i): X(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$
Karena hasilnya adalah imajiner, maka kita wajib menggunakan solusi khusus imajiner
$$X(x) = e^{0x} (C_1 \cos (\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x))$$
Fungsi pada akhirnya akan menjadi
$$\mathbf{X(x) = (C_1 \cos (\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x))}$$
Penyelesaian Persamaan T
$$T”(t) + 25 \lambda^2 T(t) = 0$$
Untuk memudahkannya, kita misalkan $T(t)$ adalah $e^{rt}$
Kita turunkan pertama kali
$$T'(t) = \frac{d}{dt}(e^{rt})$$
$$T'(t) = re^{rt}$$
Kita turunkan kedua kali
$$T”(t) = \frac{d}{dt}(re^{rt})$$
$$T”(t) = r^2e^{rt}$$
Kita substitusikan ke dalam persamaan
$$r^2e^{rt} + 25 \lambda^2 e^{rt} = 0$$
Karena nilai eksponensial mustahil adalah nol, maka bisa kita eliminasi
$$r^2 + 25 \lambda^2 = 0$$
$$r^2 = -25 \lambda^2$$
$$r = \sqrt{-25 \lambda^2}$$
$$r = 0 \pm 5\lambda i$$
Penyelesaiannya bisa menggunakan ketiga solusi
- $\text{Akar real} \ (r_1 \neq r_2): T(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$
- $\text{Akar kembar} \ (r_1 = r_2): T(t) = C_1e^{rt} + C_2te^{rt}$
- $\text{Akar kompleks} \ (\alpha \pm \beta i): T(t) = e^{\alpha t}(C_1 \cos (\beta t) + C_2 \sin(\beta t))$
Karena hasilnya adalah imajiner, maka kita wajib menggunakan solusi khusus imajiner
$$T(t) = e^{0t} (C_1 \cos (5 \lambda t) + C_2 \sin(5 \lambda t))$$
Fungsi pada akhirnya akan menjadi
$$\mathbf{T(t) = (C_1 \cos (5 \lambda t) + C_2 \sin(5 \lambda t))}$$
Substitusi Batas
Gunakan fungsi X yang sudah didapat
$$X(x) = (C_1 \cos (\lambda x) + C_2 \sin(\lambda x))$$
Terapkan batas syarat pertama, yaitu $X(0) = 0$
$$X(0) = C_1 \cos (\lambda 0) + C_2 \sin(\lambda 0)$$
$$0 = C_1 \cos (0) + C_2 \sin(0)$$
$$0 = C_1 + 0$$
$$C_1 = 0$$
Terapkan batas syarat pertama, yaitu $X(2) = 0$
$$X(2) = C_2 \sin(\lambda 2)$$
$$0 = C_2 \sin(\lambda 2)$$
Apabila konstanta $C_2$ bernilai nol, maka tidak akan menghasilkan solusi yang bernilai, melainkan hanya solusi trivial (solusinya bernilai nol). Hal ini tidak akan mungkin terjadi dalam dunia nyata, sehingga bagian yang harus bernilai nol adalah $\sin(\lambda 2)$
Fungsi sinus akan bernilai nol apabila bernilai $(\pi, 2\pi, 3\pi, …)$
$$\sin(\lambda 2) = 0$$
$$2 \lambda = n\pi, \text{ n = 1,2,3,… }$$
$$\mathbf{\lambda = \frac{n\pi}{2}, \text{ n = 1,2,3,… }}$$
Maka fungsi akhir dari $X(x)$ akan menjadi
$$\mathbf{X(x) = \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right)}$$
Begitupun dengan fungsi akhir dari $T(t)$ yang tinggal mengikuti nilai $\lambda$ dari $X(x)$
$$\mathbf{T(t) = C_1 \cos \left(\frac{5 n\pi}{2} t \right) + C_2 \sin \left(\frac{5 n\pi}{2} t \right)}$$
Karena kecepatan awal $\frac{\partial w}{\partial t}(x,0) = 0$, maka koefisien sinus waktu harus nol $(B_n = 0)$.
$$\mathbf{T(t) = \cos \left(\frac{5 n\pi}{2} t \right)}$$
Solusi transiennya adalah:
$$w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left( \frac{n\pi}{2} x \right) \cos\left( \frac{5n\pi}{2} t \right)$$
Menghitung Koefisien $A_n$
Substitusikan $T(x,t) = (-5x + 10) + w(x,t)$ kembali ke persamaan dan syarat-syaratnya.
$$w(x,0) = T(x,0) – v(x)$$
$$w(x,0) = 150 – (-5x + 10)$$
$$\mathbf{w(x,0) = 5x + 140}$$
Pada saat $t = 0$, nilai $w(x,0) = 5x + 140$:
$$5x + 140 = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left( \frac{n\pi}{2} x \right) \cos\left( \frac{5n\pi}{2} t \right)$$
Ini merupakan ekspansi deret Fourier Sinus untuk fungsi konstan $f(x) = 5x + 140$ pada interval (0,2). Rumus koefisien $A_n$ adalah:
$$A_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin(\lambda_n x) \, dx$$
Dengan $L = 2$ dan $f(x) = 5x + 140$:
$$A_n = \frac{2}{2} \int_{0}^{2} (5x + 140) \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \, dx$$
$$A_n = \int_{0}^{2} (5x + 140) \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \, dx$$
$$A_n = 5 \int_{0}^{2} x \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \,dx + \int_{0}^{2} 140 \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \, dx$$
Integral Bagian Kiri
Untuk menyelesaikannya kita gunakan integral parsial
$$\int u dv = u v \int v du$$
$u = x \implies du = 1$
$dv = \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \implies -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right)$
$$x \cdot -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) + \int \frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \cdot 1$$
$$-\frac{2x}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) + \int \frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right)$$
$$-\frac{2x}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) + \frac{2^2}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right)$$
Kita berikan batas-batas yang ditentukan
$$\left[-\frac{2x}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \right]_{0}^{2}$$
$$\left[-\frac{2(2)}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} (2) \right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n\pi}{2} (2) \right) + \frac{2(0)}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} (0) \right) – \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n\pi}{2} (0) \right) \right]$$
$$\left[-\frac{4}{n\pi} \cos (n\pi) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin (n\pi) + \frac{0}{n\pi} \cos(0) – \frac{4}{n^2\pi^2} \sin(0) \right]$$
- Nilai dari $\sin (n\pi)$ adalah $0$
- Nilai dari $\sin(0)$ adalah $0$
- Nilai dari $\frac{0}{n\pi} \cos(0)$ adalah $0$
Maka persamaan bisa disederhanakan menjadi
$$-\frac{4}{n\pi} \cos(n\pi) = -\frac{4 (-1)^{n}}{n\pi} = -1 \cdot \frac{4 (-1)^{n}}{n\pi} = \frac{4 (-1)^{n+1}}{n\pi}$$
Jangan lupa untuk mengalikan dengan konstanta
$$\mathbf{\frac{20 (-1)^{n+1}}{n\pi}}$$
Integral Bagian Kanan
Untuk menyelesaikannya kita gunakan integral parsial
$$\int u dv = u v \int v du$$
$u = 140 \implies du = 0$
$dv = \sin \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \implies -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right)$
$$140 \cdot -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) + \int \frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \cdot 0$$
$$-\frac{280}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) + 0$$
$$-\frac{280}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right)$$
Kita berikan batas-batas yang ditentukan
$$\left[-\frac{280}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} x \right) \right]_{0}^{2}$$
$$\left[-\frac{280}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} (2) \right) + \frac{280}{n\pi} \cos \left(\frac{n\pi}{2} (0) \right) \right]$$
$$\left[-\frac{280}{n\pi} \cos (n\pi) + \frac{280}{n\pi} \cos(0) \right]$$
Maka persamaan bisa disederhanakan menjadi
$$-\frac{280}{n\pi} \cos (n\pi) + \frac{280}{n\pi} \cos(0)$$
$$-\frac{280 (-1)^{n}}{n\pi} + \frac{280}{n\pi}$$
$$-1 \cdot \frac{280 (-1)^{n}}{n\pi} + \frac{280}{n\pi}$$
$$\mathbf{\frac{280 (-1)^{n + 1}}{n\pi} + \frac{280}{n\pi}}$$
Jawaban Akhir
Gabungkan kedua hasil integral tersebut
$$A_n = \frac{280 (-1)^{n + 1}}{n\pi} + \frac{280}{n\pi} + \frac{20 (-1)^{n+1}}{n\pi}$$
$$\mathbf{A_n = \frac{280 + 300 (-1)^{n + 1}}{n\pi}}$$
Solusi lengkap $T(x,t)$ diperoleh dengan menggabungkan kembali komponen keadaan tunak dan komponen gelombang transiennya:
$$\mathbf{T(x,t) = (10 – 5x) + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{280 + 300 (-1)^{n + 1}}{n\pi} \right] \sin\left( \frac{n\pi}{2} x \right) \cos\left( \frac{5n\pi}{2} t \right)}$$
