Selesaikan persamaan diferensial parsial homogen dalam koordinat radial berikut:
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial \phi}{\partial r} \right) = 4 \frac{\partial \phi}{\partial t}$$
Boundary Conditions (BC) / Syarat Batas:
- Untuk $r = 0 \implies \frac{\partial \phi}{\partial r} = 0$ (kondisi simetri/terbatas di pusat)
- Untuk $r = 5 \implies \phi = 0$
Initial Condition (IC) / Syarat Awal:
- Untuk $t = 0 \implies \phi = 10$
Persamaan ini merupakan Persamaan Difusi/Panas pada Silinder Dua Dimensi yang bersifat simetris secara aksial (tidak bergantung pada sudut $\theta$).
Asumsikan bahwa solusi umum $\phi (x,t)$ dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel
Artinya kita bisa menggunakan substitusi
- $X’ \text{ adalah turunan parsial pertama } \phi \text{ terhadap } x$
- $X” \text{ adalah turunan parsial kedua } \phi \text{ terhadap } x$
- $T’ \text{ adalah turunan parsial pertama } \phi \text{ terhadap } t$
- $T” \text{ adalah turunan parsial kedua } \phi \text{ terhadap } t$
Ketika kita memisahkan variabel $\phi(r,t) = R(r) \cdot T(t)$, bagian persamaan ruangnya akan membentuk Persamaan Diferensial Bessel Orde Nol:
$$r^2 R”(r) + r R'(r) + \lambda^2 r^2 R(r) = 0$$
Solusi umum dari persamaan Bessel orde nol adalah kombinasi dari Fungsi Bessel jenis pertama ($J_0$) dan jenis kedua ($Y_0$):
$$R(r) = A J_0(\lambda r) + B Y_0(\lambda r)$$
Pemisahan Variabel
Dengan asumsi sebelumnya, kita ubah bentuk persamaan tersebut
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (rR'(r)T(t)) = 4R(r)T'(t)$$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \frac{(rR'(r)T(t))}{R(r)T(t)} = \frac{4R(r)T'(t)}{R(r)T(t)}$$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \frac{(rR'(r))}{R(r)} = \frac{4T'(t)}{T(t)}$$
Untuk memudahkan operasi, kita gunakan konstanta lain, misalkan $-\lambda^2$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \frac{(rR'(r))}{R(r)} = \frac{4T'(t)}{T(t)} = -\lambda^2$$
Kita susun persamaan diferensial bagian $R(r)$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \frac{(rR'(r))}{R(r)} = -\lambda^2$$
$$\frac{\partial}{\partial r} (rR'(r)) = -\lambda^2 rR(r)$$
$$\frac{\partial}{\partial r} (rR'(r)) + \lambda^2 rR(r) = 0$$
Kita gunakan aturan produk pada bagian kiri
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v) = (uv’ + u’v)$$
$u = r \implies u’ = 1$
$v = R'(r) \implies v’ = R”(r)$
$$\frac{\partial}{\partial r} (rR'(r)) = (r \cdot R”(r) + 1 \cdot R'(r))$$
$$\frac{\partial}{\partial r} (rR'(r)) = (rR”(r) + R'(r))$$
Gabungkan hasilnya ke persamaan
$$rR”(r) + R'(r) + \lambda^2 rR(r) = 0$$
Kita kalikan lagi dengan $R$
$$\mathbf{r^2R”(r) + rR'(r) + \lambda^2 r^2R(r) = 0}$$
Bentuk umum persamaan parameter Bessel sendiri adalah:
$$r^2 R”(r) + r R'(r) + (\lambda^2 r^2 – \nu^2) R(r) = 0$$
Jika kita cocokkan kedua persamaan tersebut, kasus yang sedang kita kerjakan ini memiliki nilai parameter $\nu = 0$. Ini berarti persamaan kita adalah Persamaan Bessel Orde Nol.
Kita susun persamaan diferensial bagian $T(t)$
$$\frac{4T'(t)}{T(t)} = -\lambda^2$$
$$4T'(t) = -\lambda^2T(t)$$
$$4T'(t) + \lambda^2T(t) = 0$$
$$T'(t) + \frac{\lambda^2}{4}T(t) = 0$$
Menyelesaikan Persamaan Waktu $T(t)$
Sama persis seperti soal-soal sebelumnya, solusi untuk $T(t)$ adalah peluruhan eksponensial:
$$T(t) = C e^{-\frac{\lambda^2}{4}t}$$
Menyelesaikan Persamaan Ruang $R(r)$
Solusi umum dari persamaan ruang (Bessel Orde Nol) adalah:
$$R(r) = A J_0(\lambda r) + B Y_0(\lambda r)$$
Mari kita terapkan Syarat Batas (BC):
- BC di $r = 0$ (Nilai harus terbatas): Fungsi Bessel jenis kedua, $Y_0(\lambda r)$, bernilai menuju $-\infty$ saat $r \to 0$. Karena temperatur atau konsentrasi $\phi$ di pusat silinder tidak boleh tak hingga secara fisis, maka nilai koefisien $B$ harus sama dengan nol ($B = 0$). Solusinya menyusut menjadi: $R(r) = A J_0(\lambda r)$.
- BC di $r = 5$ ($\phi = 0$):
$$R(5) = A J_0(5\lambda) = 0$$
Agar mendapatkan solusi non-trivial ($A \neq 0$), maka $5\lambda$ harus merupakan akar-akar (nol-nol) dari fungsi Bessel $J_0$. Jika kita sebut $\alpha_n$ sebagai akar ke-$n$ dari $J_0$ (di mana $J_0(\alpha_n) = 0$), maka:
$$5\lambda_n = \alpha_n \implies \mathbf{\lambda_n = \frac{\alpha_n}{5}} \quad \text{untuk } n = 1, 2, 3, \dots$$
(Catatan: Nilai $\alpha_n$ adalah konstanta numerik spesifik).
Solusi Umum Deret Fourier-Bessel
Kita selesaikan solusi dari persamaan waktu
$$T(t) = e^{-\frac{\lambda^2}{4}t}$$
$$T(t) = e^{-\frac{\frac{\alpha_n}{5}^2}{4}t}$$
$$\mathbf{T(t) = e^{-\frac{\alpha_n}{100}t}}$$
Kita selesaikan solusi dari persamaan ruang
$$R(r) = J_0(\lambda r)$$
$$\mathbf{R(r) = J_0 \left(\frac{\alpha_n}{5} r \right)}$$
Gabungkan komponen ruang dan waktu menggunakan prinsip superposisi:
$$\phi(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0\left( \frac{\alpha_n}{5} r \right) e^{-\frac{\alpha_n^2}{100}t}$$
Menerapkan Syarat Awal (IC) untuk mencari $A_n$
Pada saat $t = 0$, nilai $\phi(r,0) = 10$:
$$10 = \sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0\left( \frac{\alpha_n}{5} r \right)$$
Ini merupakan ekspansi deret Fourier Cosinus untuk fungsi konstan $f(r) = 10$ pada interval $(0, 5)$. Rumus koefisien $A_n$ adalah:
$$c_n = \frac{2}{a^2 [J_{\nu+1}(\alpha_{\nu,n})]^2} \int_{0}^{a} r \cdot f(r) \cdot J_\nu\left(\frac{\alpha_{\nu,n}}{a} r\right) dr$$
Dengan $a = 5$, $\nu = 0$, dan $f(r) = 10$:
$$A_n = \frac{2}{5^2 [J_1(\alpha_n)]^2} \int_{0}^{5} r \cdot 10 \cdot J_0\left( \frac{\alpha_n}{5} r \right) dr$$
$$A_n = \frac{20}{25 [J_1(\alpha_n)]^2} \int_{0}^{5} r \cdot J_0\left( \frac{\alpha_n}{5} r \right) dr$$
Kita selesaikan bagian integrasi
$$\int_{0}^{5} r \cdot J_0\left( \frac{\alpha_n}{5} r \right) dr$$
$u = \frac{\alpha_n}{5} r \implies du = \frac{\alpha_n}{5} dr$
$r = \frac{5}{\alpha_n} u \implies dr = \frac{5}{\alpha_n} du$
Karena kita mengubah variabel dari $r$ menjadi $u$, batas-batas integralnya juga harus ikut disesuaikan:
- Batas Bawah: Jika $r = 0$, maka $u = \frac{\alpha_n}{5}(0) = 0$
- Batas Atas: Jika $r = 5$, maka $u = \frac{\alpha_n}{5}(5) = \alpha_n$
Masukkan semua komponen substitusi ($r$, $dr$, dan batas baru) ke dalam persamaan integral awal:
$$\int_{0}^{\alpha_n} \left( \frac{5}{\alpha_n} u \right) \cdot J_0 (u) \cdot \left( \frac{5}{\alpha_n} du \right)$$
$$\frac{25}{\alpha_n^2} \int_{0}^{\alpha_n} u \cdot J_0 (u) \cdot du$$
$$\frac{25}{\alpha_n^2} \left[ u J_1 (u) \right]_{0}^{\alpha_n}$$
$$\frac{25}{\alpha_n^2} \left[ \alpha_n J_1 (\alpha_n) – 0 J_1 (0) \right]$$
$$\frac{25}{\alpha_n^2} \alpha_n J_1 (\alpha_n)$$
$$\frac{25}{\alpha_n} J_1 (\alpha_n)$$
Substitusikan hasil integrasi ke persamaan awal
$$A_n = \frac{20}{25 [J_1 (\alpha_n)]^2} \frac{25}{\alpha_n} J_1 (\alpha_n)$$
$$A_n = \frac{20}{\alpha_n J_1 (\alpha_n)}$$
Jawaban Akhir
Solusi akhir dari persamaan diferensial parsial homogen dalam koordinat radial tersebut adalah:
$$\mathbf{\phi(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{20}{\alpha_n J_1(\alpha_n)} J_0\left( \frac{\alpha_n}{5} r \right) e^{-\frac{\alpha_n^2}{100}t}}$$
