Sebuah sistem tiga fasa seimbang memiliki kabel distribusi dengan nilai impedansi sebesar $\mathbf{Z}_\ell = 2 + j6\ \Omega$ per fasa. Sistem ini menyuplai dua beban tiga fasa yang terhubung paralel: Beban 1 adalah beban seimbang terhubung Bintang (Wye/Y) yang menyerap daya semu sebesar $400\text{ kVA}$ pada faktor daya $0,8$ tertinggal (lagging) Beban 2 adalah beban seimbang terhubung Delta ($\Delta$) dengan nilai impedansi sebesar $\mathbf{Z}_\Delta = 10 + j8\ \Omega$ per fasa. Jika besar nilai efektif dari tegangan saluran (line voltage) tepat pada terminal kombinasi beban adalah $V_L = 2400\text{ V rms}$, hitunglah (a) Total daya kompleks ($\mathbf{S}_{\text{load}}$) yang diserap oleh kedua kombinasi beban tersebut (b) Besar nilai magnitudo dari tegangan saluran pada sisi sumber pembangkit ($V_{L,\text{source}}$).
Daya Kompleks Beban Pertama
$$\theta_1 = \cos^{-1}(0,8) = 36,869^\circ$$
$$P_1 = 400000 \cos (36,869^\circ) = 400000 \cdot 0,8 = 320000 \text{ W}$$
$$Q_1 = 400000 \sin (36,869^\circ) = 400000 \cdot 0,6 = 240000 \text{ VAR}$$
$$S_1 = 320000 + j240000 \text{ VA}$$
Daya Kompleks Beban Kedua
Untuk menganalisis rangkaian paralel yang memiliki dua jenis hubungan beban berbeda (Bintang dan Delta), langkah termudah adalah mengubah beban Delta menjadi beban ekivalen Bintang (Wye). Pada beban seimbang, impedansi fasa Wye ekivalen ($\mathbf{Z}_{Y2}$) nilainya adalah sepertiga dari impedansi fasa Delta ($\mathbf{Z}_\Delta$):
$$\mathbf{Z}_{Y2} = \frac{\mathbf{Z}_\Delta}{3}$$
$$\mathbf{Z}_{Y2} = \frac{10 + j8}{3}$$
$$\mathbf{Z}_{Y2} = 3,333 + j2,667 \ \Omega$$
Ubah bentuknya menjadi polar
$$\mathbf{Z}_{Y2} = \sqrt{3,333^2 + 2,667^2} \angle \tan^{-1}\left(\frac{2,667}{3,333}\right)$$
$$\mathbf{Z}_{Y2} = \sqrt{11,108 + 7,112} \angle \tan^{-1}(0,8)$$
$$\mathbf{Z}_{Y2} = \sqrt{18,220} \angle 38,659^\circ$$
$$\mathbf{Z}_{Y2} = 4,268 \angle 38,659^\circ \ \Omega$$
Setelah semua beban berada dalam hubungan Bintang (Wye), kita dapat menggunakan analisis satu fasa (fasa $a$). Tegangan fasa referensi pada terminal beban:
$$\mathbf{V}_{AN} = \frac{V_L}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ$$
$$\mathbf{V}_{AN} = \frac{2400}{1,732} \angle 0^\circ$$
$$\mathbf{V}_{AN} = 1385,681 \angle 0^\circ \text{ V rms}$$
Kita ubah nilai tegangan ke dalam bentuk rektangular
$$\mathbf{V}_{AN} = 1385,681 \cos(0^\circ) + 1385,681 \sin(0^\circ)$$
$$\mathbf{V}_{AN} = 1385,681 \cdot 1 – 1385,681 \cdot 0$$
$$\mathbf{V}_{AN} = 1385,681 + j0 \text{ A}$$
Kita cari nilai dari arus fasa beban kedua
$$\mathbf{I}_{a2} = \frac{\mathbf{V}_{AN}}{\mathbf{Z}_{Y2}}$$
$$\mathbf{I}_{a2} = \frac{1385,681 \angle 0^\circ}{4,268 \angle 38,659^\circ}$$
$$\mathbf{I}_{a2} = \frac{1385,681}{4,268} \angle (0^\circ – 38,659^\circ)$$
$$\mathbf{I}_{a2} = 324,667 \angle -38,659^\circ \text{ A}$$
Kita cari nilai konjugat dari arus fasa beban kedua
$$\mathbf{I}_{a2}^* = 324,667 \angle 38,659^\circ \text{ A}$$
Kita cari nilai dari daya kompleks kedua
$$\mathbf{S}_2 = 3 \cdot \mathbf{V}_{AN} \cdot \mathbf{I}_{a2}^*$$
$$\mathbf{S}_2 = 3 \cdot (1385,681 \angle 0^\circ) \cdot (324,667 \angle 38,659^\circ)$$
$$\mathbf{S}_2 = (3 \cdot 1385,681 \cdot 324,667) \angle (0^\circ + 38,659^\circ)$$
$$\mathbf{S}_2 = 1349654,68 \angle 38,659^\circ \text{ VA}$$
Kita ubah bentuknya menjadi bentuk polar
$$P_2 = 1349654,68 \cos (38,659^\circ) = 1349654,68 \cdot 0,78 = 1052730,65 \text{ W}$$
$$Q_2 = 1349654,68 \sin (38,659^\circ) = 1349654,68 \cdot 0,624 = 842184,52 \text{ VAR}$$
$$S_2 = 1052730,65 + j842184,52 \text{ VA}$$
Penjumlahan Daya Kompleks Paralel
Total daya kompleks total ($\mathbf{S}_{\text{load}}$) dicari dengan menjumlahkan daya kompleks Beban 1 ($\mathbf{S}_1$) dan Beban 2 ($\mathbf{S}_2$):
$$\mathbf{S}_{\text{load}} = \mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2$$
$$\mathbf{S}_{\text{load}} = (320000 + j240000) + (1052730,65 + j842184,52)$$
$$\mathbf{S}_{\text{load}} = 1352730,65 + j1082184,52 \text{ VA}$$
Ubah bentuk daya kompleks beban menjadi polar
$$\mathbf{S}_{\text{load}} = \sqrt{1352730,65^2 + 1082184,52^2} \angle \tan^{-1}\left(\frac{1082184,52}{1352730,65}\right)$$
$$\mathbf{S}_{\text{load}} = \sqrt{1829880211000 + 1171123335000} \angle \tan^{-1}(0,8)$$
$$\mathbf{S}_{\text{load}} = \sqrt{3001003546000} \angle 38,659^\circ$$
$$\mathbf{S}_{\text{load}} = 1732340,482 \angle 38,659^\circ \text{ VA}$$
Arus saluran total ($\mathbf{I}_a$) yang mengalir melewati kabel distribusi dihitung melalui hubungan daya kompleks total terhadap tegangan fasa beban:
$$\mathbf{I}_a^* = \frac{\mathbf{S}_{\text{load}}}{3 \cdot \mathbf{V}_{AN}}$$
$$\mathbf{I}_a^* = \frac{1732340,482 \angle 38,659^\circ}{3 \cdot 1385,681 \angle 0^\circ}$$
$$\mathbf{I}_a^* = \frac{1732340,482 \angle 38,659^\circ}{4157,043 \angle 0^\circ}$$
$$\mathbf{I}_a^* = \frac{1732340,482}{4157,043} \angle (38,659^\circ – 0^\circ)$$
$$\mathbf{I}_a^* = 416,724 \angle 38,659^\circ \text{ A}$$
Kita cari nilai arus dalam bentuk asli
$$\mathbf{I}_a = 416,724 \angle -38,659^\circ$$
Kita ubah nilai arus ke dalam bentuk rektangular
$$\mathbf{I}_a = 416,724 \cos(-38,659^\circ) + 416,724 \sin(-38,659^\circ)$$
$$\mathbf{I}_a = 416,724 \cdot 0,78 – 416,724 \cdot 0,624$$
$$\mathbf{I}_a = 325,044 – j260,035 \text{ A}$$
Tegangan Sisi Sumber
Tegangan fasa pada sisi sumber pembangkit ($\mathbf{V}_{an}$) mengalami kenaikan karena harus mengatasi jatuh tegangan (voltage drop) di kawat kawat distribusi ($\mathbf{Z}_\ell$):
$$\mathbf{V}_{an} = \mathbf{V}_{AN} + \mathbf{I}_a \cdot \mathbf{Z}_\ell$$
$$\mathbf{V}_{an} = 1385,681 + j0 + (325,044 – j260,035) \cdot (2 + j6)$$
$$\mathbf{V}_{an} = 1385,681 + j0 + (650,088 + j1950,264 – j520,07 + 1560,21)$$
$$\mathbf{V}_{an} = 3595,979 – j1430,194$$
Kita cari magnitudo dari tegangan tersebut
$$|\mathbf{V}_{an}| = \sqrt{3595,979^2 + (-1430,194)^2}$$
$$|\mathbf{V}_{an}| = \sqrt{12931064,97 + 2045454,878}$$
$$|\mathbf{V}_{an}| = \sqrt{14976519,85}$$
$$|\mathbf{V}_{an}| = 3869,95 \text{ V}$$
Tegangan saluran sumber diperoleh kembali dengan rumus:
$$V_{L,\text{source}} = \sqrt{3} \cdot |\mathbf{V}_{an}|$$
$$V_{L,\text{source}} = 1,732 \cdot 3869,95$$
$$V_{L,\text{source}} = 6702,753\text{ V}$$
