Hubungan antara gaya drag atau gaya hambat $F_D$ yang dialami oleh kapal di laut diperkirakan terkait dengan kelajuan kapal $v$, panjang kapal $L$, massa jenis air laut $\rho$, viskositas dinamis air laut $\mu$, dan konstanta gravitasi $g$. Untuk keperluan pengujian kapal pada suatu towing tank, tentukan:
(a) Berapa cacah dimensi dasar?
(b) Berapa cacah variabel terikat?
(c) Berapa cacah variable bebas?
(d) Berapa cacah semua variable?
(e) Berapa cacah variable tak berdimensi (menurut teorema Buckingham-Pi)
(f) Tulis persamaan fungsional dasar (tidak harus lengkap)
Mari kita selesaikan soal analisis dimensi (dimensional analysis) untuk pengujian kapal di towing tank ini menggunakan prinsip dasar mekanika fluida dan Teorema Pi Buckingham. Mari kita daftar semua variabel yang terlibat beserta dimensi dasarnya dalam sistem MLT (Massa, Panjang, Waktu):
- Gaya hambat ($F_D$) $\rightarrow [M L T^{-2}]$
- Kelajuan kapal ($V$) $\rightarrow [L T^{-1}]$
- Panjang kapal ($L$) $\rightarrow [L]$
- Massa jenis air laut ($\rho$) $\rightarrow [M L^{-3}]$
- Viskositas dinamis ($\mu$) $\rightarrow [M L^{-1} T^{-1}]$
- Konstanta gravitasi ($g$) $\rightarrow [L T^{-2}]$
(a) Berapa cacah dimensi dasar?
Jika kita perhatikan dimensi dari seluruh variabel di atas, dimensi dasar yang digunakan untuk menyusunnya adalah $M$ (Massa), $L$ (Panjang), dan $T$ (Waktu).
Jawaban: 3 dimensi dasar ($m = 3$).
(b) Berapa cacah variabel terikat?
Variabel terikat (dependent variable) adalah parameter utama yang ingin kita cari tahu nilainya atau yang dipengaruhi oleh kondisi pengujian. Di sini, gaya hambat ($F_D$) adalah variabel terikat karena nilainya bergantung pada dimensi kapal dan kecepatan geraknya.
Jawaban: 1 variabel terikat ($F_D$).
(c) Berapa cacah variabel bebas?
Variabel bebas (independent variables) adalah variabel-variabel yang menentukan atau mempengaruhi variabel terikat tersebut. Dalam hal ini adalah $V, L, \rho, \mu,$ dan $g$.
Jawaban: 5 variabel bebas.
(d) Berapa cacah semua variabel?
Cacah semua variabel ($n$) adalah total dari variabel terikat ditambah seluruh variabel bebas yang terlibat di dalam fenomena fisik tersebut.
Total variabel: $F_D, V, L, \rho, \mu, g$
Jawaban: 6 variabel $(n = 6)$.
(e) Berapa cacah variabel tak berdimensi (menurut teorema Buckingham-Pi)?
Menurut Teorema Pi Buckingham, jumlah kelompok atau variabel tak berdimensi ($\Pi$) yang terbentuk adalah selisih antara jumlah total variabel ($n$) dengan jumlah dimensi dasar ($m$):
$$\text{Jumlah kelompok } \Pi = n – m$$
$$\text{Jumlah kelompok } \Pi = 6 – 3$$
$$\text{Jumlah kelompok } \Pi = 3$$
Jawaban: 3 variabel tak berdimensi.
(f) Tulis persamaan fungsional dasar (tidak harus lengkap)
Persamaan fungsional awal yang menghubungkan seluruh variabel tersebut dapat dituliskan sebagai:
$$F_D = f(V, L, \rho, \mu, g)$$
Jika diubah menjadi persamaan fungsional kelompok tak berdimensi ($\Pi$) sesuai Teorema Buckingham-Pi, kita akan mendapatkan hubungan antara:
- $\Pi_1$ (Koefisien Gaya): $\frac{F_D}{\rho V^2 L^2}$
- $\Pi_2$ (Bilangan Reynolds – mewakili efek viskositas): $Re = \frac{\rho V L}{\mu}$
- $\Pi_3$ (Bilangan Froude – mewakili efek gravitasi/gelombang air): $Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$
Sehingga persamaan fungsional dasarnya dalam bentuk tak berdimensi adalah:
$$\mathbf{\frac{F_D}{\rho V^2 L^2} = \phi\left(\frac{\rho V L}{\mu}, \frac{V}{\sqrt{gL}}\right)}$$
atau bisa ditulis secara sederhana:
$$\mathbf{C_D = \phi(Re, Fr)}$$
Inilah mengapa engineer perkapalan selalu menguji model kapal di towing tank. Dengan mengubah 6 variabel yang membingungkan menjadi hanya 3 kelompok tak berdimensi ($C_D$, $Re$, dan $Fr$), kita bisa memprediksi gaya hambat kapal asli berukuran raksasa hanya dengan melihat grafik performa dari model kecilnya!
