Pada suatu saluran terbuka silindris terbuat dari baja $(n = 0,012)$ dengan penampang berjari-jari $1 \text{ m}$, air terisi sampai kedalaman $1,5 \text{ m}$, mengalir secara uniform pada debit $12 \text{ m}^3$/\text{s}. Tentukan beda elevasi saluran per 1000 m!
Identifikasi Data
- Jari-jari saluran ($R$): $1\text{ m}$
- Kedalaman air ($y$): $1,5\text{ m}$
- Debit aliran ($Q$): $12\text{ m}^3\text{/s}$
- Koefisien kekasaran baja ($n$): $0,012$
- Panjang saluran ($L$): $1000\text{ m}$
Parameter Geometri
Dari gambar, karena kedalaman air ($y = 1,5\text{ m}$) lebih besar dari jari-jari ($R = 1\text{ m}$), air telah melewati garis tengah silinder. Mari kita hitung sudut pusat $\theta$ (dalam satuan radian). Berdasarkan segitiga siku-siku di bagian atas:
$$\cos(\alpha) = \frac{y – R}{R}$$
$$\cos(\alpha) = \frac{1,5 – 1}{1}$$
$$\cos(\alpha) = \frac{0,5}{1}$$
$$\cos(\alpha) = 0,5$$
$$\alpha = \cos^{-1}(0,5)$$
Sudut total penampang basah ($\theta$) dihitung dari dasar saluran sampai permukaan air di satu sisi:
$$\theta = \pi – \alpha$$
$$\theta = \pi – \frac{\pi}{3}$$
$$\theta = \frac{2\pi}{3}\text{ rad} = 120^\circ$$
Maka, sudut pusat total untuk bagian yang terisi air adalah $2\theta = 240^\circ$ atau dalam radian:
$$2\theta = \frac{4\pi}{3}\text{ rad} \approx 4,1888\text{ rad}$$
$$\theta = \frac{2\pi}{3}\text{ rad} \approx 2,0944\text{ rad}$$
Kita hitung luas penampang basah
$$A = R^2 \left( \theta – \frac{\sin(2\theta)}{2} \right)$$
$$A = (1)^2 \left( 2,0944 – \frac{\sin(240^\circ)}{2} \right)$$
$$A = \left( 2,0944 – \frac{-0,866}{2} \right)$$
$$A = 2,0944 + 0,433$$
$$\mathbf{A = 2,5274 \text{ m}^2}$$
Kita hitung keliling basah
$$P = 2\theta \times R$$
$$P = 4,1888 \times 1$$
$$\mathbf{P = 4,1888 \text{ m}}$$
Kita hitung radius hidrolik
$$R_h = \frac{A}{P}$$
$$R_h = \frac{2,5274}{4,1888}$$
$$\mathbf{R_h = 0,6033 \text{ m}}$$
Perhitungan Debit
Persamaan Manning untuk debit adalah:
$$Q = \frac{1}{n} \times A \times R_h^{2/3} \times S_0^{1/2}$$
Kita balik rumusnya untuk mencari $S_0^{1/2}$:
$$\frac{Q}{\frac{1}{n} \times A \times R_h^{2/3}} = \frac{\frac{1}{n} \times A \times R_h^{2/3} \times S_0^{1/2}}{\frac{1}{n} \times A \times R_h^{2/3}}$$
$$\frac{Q}{A \times R_h^{2/3}} \cdot n = S_0^{1/2}$$
$$\frac{Q \times n}{A \times R_h^{2/3}} = S_0^{1/2}$$
Kita substitusikan nilai yang diketahui
$$S_0^{1/2} = \frac{12 \times 0,012}{2,5274 \times 0,6034^{2/3}}$$
$$S_0^{1/2} = \frac{0,144}{2,5274 \times 0,714}$$
$$S_0^{1/2} = \frac{0,144}{1,8045}$$
$$S_0^{1/2} = 0,0798$$
$$\mathbf{S_0 = 0,006368 \text{ m}}$$
Beda Elevasi ($\Delta z$) per 1000 m
Kemiringan saluran adalah rasio tinggi jatuh terhadap panjang jaraknya:
$$S_0 = \frac{\Delta z}{L}$$
Karena kita ingin mencari beda elevasi
$$\Delta z = S_0 \times L$$
$$\Delta z = 0,006368 \times 1000$$
$$\mathbf{\Delta z = 6,368 \text{ m}}$$
