Sebuah pulsa tegangan merambat pada saluran transmisi tanpa rugi-rugi (lossless) dengan impedansi karakteristik $Z_0 = 50 \ \Omega$. Pulsa tersebut berbentuk Gaussian, dengan selubung tegangan yang dinyatakan oleh $V(t) = V_0 e^{-t^2/2T^2}$, dimana $V_0 = 10 \text{ V}$ dan $T = 20 \text{ ns}$. Pulsa ini mengenai beban sebesar $R_L = 100 \ \Omega$ di ujung saluran. Tentukan energi dalam satuan Joule yang diserap (didisipasikan) oleh beban tersebut.
Koefisien Refleksi ($\Gamma$)
Koefisien refleksi adalah nilai yang mengukur seberapa besar amplitudo atau intensitas gelombang yang dipantulkan kembali oleh suatu bidang batas antara dua media yang berbeda, dibandingkan dengan gelombang datang. Nilainya berkisar antara \(-1\) hingga \(1\) (atau \(0\) hingga \(1\) dalam persentase daya).
$$\Gamma = \frac{R_L – Z_0}{R_L + Z_0}$$
Kita hitung nilai koefisien refleksinya
$$\Gamma = \frac{100 – 50}{100 + 50}$$
$$\Gamma = \frac{50}{150}$$
$$\mathbf{\Gamma = 0,333}$$
Tegangan Beban ($V_L$)
Ketika pulsa mencapai ujung saluran yang impedansinya tidak sama dengan $Z_0$, sebagian energi akan dipantulkan kembali dan sebagian lagi diteruskan ke beban. Tegangan total pada beban ($V_L$) adalah jumlah dari tegangan datang ($V^+$) dan tegangan pantul ($V^-$):
$$V_L = V^+ + V^-$$
$$V_L = V^+(1 + \Gamma)$$
Kita hitung nilai tegangan beban
$$V_L(t) = V(t)\left(1 + \frac{1}{3}\right)$$
$$V_L(t) = V_0 e^{-t^2/2T^2} \cdot \frac{4}{3}$$
$$\mathbf{V_L(t) = \frac{4}{3}V_0e^{-t^2/2T^2}}$$
Energi pada Beban
Energi ($W$) yang diserap oleh beban selama waktu tertentu adalah integral dari daya sesaat ($P(t)$):
$$W = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{[V_L(t)]^2}{R_L} dt$$
Kita hitung nilai energi pada beban
$$W = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left[\frac{4}{3}V_0e^{-t^2/2T^2}\right]^2}{R_L} dt$$
$$W = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left[\frac{16}{9} V_0^2 e^{-t^2/T^2}\right]}{R_L} dt$$
$$W = \frac{16 V_0^2}{9 R_L} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/T^2} dt$$
Integrasi Gauss
Mari kita gunakan konsep simetris 2 dimensi
$$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$$
$$I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy\right)$$
$$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx \ dy$$
Kita ubah menjadi koordinat polar
- Koordinat polar $x^2 + y^2 = r^2$
- Elemen luas $dx dy = r \ dr \ d\theta$
- Batas integral berubah dari seluruh bidang Cartesian menjadi $r$ dari $0$ hingga $\infty$, dan $\theta$ dari $0$ hingga $2\pi$.
$$I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \ dr \ d\theta$$
$$I^2 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \ dr \ $$
Kita integrasikan bagian kiri
$$\int_{0}^{2\pi} d\theta = [\theta]_{0}^{2\pi} = [2\pi – 0] = 2\pi$$
Kita integrasikan bagian kanan
Kita gunakan sifat substitusi
- $u = r^2$
- $du = 2 \ r \ dr$
- $r \ dr = \frac{du}{2}$
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \ dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} [-e^{-\infty} + e^{0}] = \frac{1}{2} [0 + 1] = \frac{1}{2}$$
Kita gabungkan kedua hasilnya
$$I^2 = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$$
$$I = \sqrt{\pi}$$
Sehingga kita bisa mengambil kesimpulan
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$
Kita tinggal menyelesaikan integral sebelumnya
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/T^2} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2 \cdot 1/T^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{1/T^2}} = \sqrt{T^2 \pi} = T \sqrt{\pi}$$
Dengan ini, rumus akhir daya adalah
$$W = \frac{16 V_0^2}{9 R_L} T \sqrt{\pi}$$
$$W = \frac{16 \cdot 10^2}{9 \cdot 100} \cdot 20 \times 10^{-9} \cdot \sqrt{3,14}$$
$$W = \frac{1600}{900} \cdot 20 \times 10^{-9} \cdot 1,772$$
$$W = 1,777 \cdot 35,44 \times 10^{-9}$$
$$W = 6,297 \times 10^{-8}$$
$$\mathbf{W = 62,97 \text{ nJ}}$$
