Sebuah loop kawat berbentuk persegi dengan panjang sisi $25 \text{ cm}$ memiliki hambatan sebesar $125 \, \Omega$ per meter panjang kawat. Loop tersebut terletak pada bidang $z = 0$ dengan titik-titik sudut di $(0, 0, 0), (0.25, 0, 0), (0.25, 0.25, 0),$ dan $(0, 0.25, 0)$ pada saat $t = 0$. Loop tersebut bergerak dengan kecepatan konstan $v_y = 50 \text{ m/s}$ di dalam medan magnet $\mathbf{B}_z = 8 \cos(1.5 \times 10^8t – 0.5x) \, \mu\text{T}$. Tentukan fungsi waktu yang menyatakan daya ohmik (ohmic power) yang dikirimkan ke loop tersebut.
Perhitungan Hambatan
Kita perlu menghitung nilai hambatan secara keseluruhan
- Sisi loop: $L = 0,25 \text{ m}$
- Keliling loop: $4 \times L = 4 \times 0,25 = 1 \text{ meter}$
- Hambatan kawat: $R = 125 \ \Omega/\text{m}$
- Hambatan total: $R = 125 \ \Omega$
Perhitungan Fluks Magnetik
- Batas loop pada sumbu $x$ adalah $[0, 0.25]$.
- Batas loop pada sumbu $y$ berubah karena kecepatan $v_y = 50$, maka batasnya adalah $[50t, 50t + 0.25]$.
Elemen luasnya adalah $dxdy$ karena berada di posisi $z = 0$
$$\Phi = \int_{S} B \cdot dS$$
$$\Phi = \int_{50t}^{50t + 0.25} \cdot \int_{0}^{0.25} (8 \times 10^{-6}) \cdot \cos(1,5 \times 10^8t – 0.5x) \ dx \ dy$$
$$\Phi = (8 \times 10^{-6}) \cdot \int_{0}^{0.25} \cos(1.5 \times 10^8t – 0.5x) \ dx \cdot \int_{50t}^{50t + 0.25} \ dy$$
$$\Phi = (8 \times 10^{-6}) \cdot \left[\frac{\sin(1.5 \times 10^8t – 0.5x)}{-0.5}\right]_{0}^{0.25} \cdot [y]_{50t}^{50t + 0.25}$$
$$\Phi = (-1.6 \times 10^{-5}) \cdot [\sin(1.5 \times 10^8t – 0.5(0.25)) – \sin(1.5 \times 10^8t – 0.5(0))] \cdot [50t + 0.25 – 50t]$$
$$\Phi = (-1.6 \times 10^{-5}) \cdot [\sin(1.5 \times 10^8t – 0.125) – \sin(1.5 \times 10^8t)] \cdot [0.25]$$
$$\mathbf{\Phi = (-4 \times 10^{-6}) [\sin(1.5 \times 10^8t – 0.125) – \sin(1.5 \times 10^8t)]}$$
Turunan Fluks Magnetik Terhadap Waktu
$$V_{emf} = -\frac{d\Phi}{dt}$$
$$V_{emf} = -\frac{d}{dt} \cdot (-4 \times 10^{-6}) \cdot [\sin(1.5 \times 10^8t – 0.125) – \sin(1.5 \times 10^8t)]$$
$$V_{emf} = (4 \times 10^{-6}) \cdot \frac{d}{dt} \cdot [\sin(1.5 \times 10^8t – 0.125) – \sin(1.5 \times 10^8t)]$$
$$V_{emf} = (-4 \times 10^{-6}) \cdot [1,5 \times 10^8 \cos(1.5 \times 10^8t – 0.125) – 1.5 \times 10^8 \cos(1.5 \times 10^8t)]$$
$$V_{emf} = (4 \times 10^{-6}) \cdot (1,5 \times 10^8) [\cos(1.5 \times 10^8t – 0.125) – \cos(1.5 \times 10^8t)]$$
Untuk mempermudah perhitungan, kita gunakan identitas trigonometri
$$\cos(a – b) – \cos(a) = 2 \sin\left(a – \frac{b}{2}\right) \sin\left(\frac{b}{2}\right)$$
- Nilai dari a adalah $1.5 \times 10^8t$
- Nilai dari b adalah $0.125$
Maka, hasilnya menjadi
$$V_{emf} = (4 \times 10^{-6}) \cdot (1,5 \times 10^8) [2 \sin(1.5 \times 10^8t – 0.0625) \sin\left(0.0625\right)]$$
Untuk mempermudah perhitungan, kita gunakan aproksimasi sudut kecil
Dari bentuk terakhir sebelumnya, kita punya persamaan:
$$2 \sin\left(a – \frac{b}{2}\right) \sin\left(\frac{b}{2}\right)$$
Ketika nilai $b$ mendekati nol ($b \to 0$), maka sudut $\frac{b}{2}$ juga akan menjadi sangat kecil.
Berdasarkan deret Maclaurin untuk fungsi sinus:
$$\sin(\theta) \approx \theta \text{ untuk } \theta \ll 1$$
Jika kita terapkan pada suku $\sin\left(\frac{b}{2}\right)$, maka:
$$\sin\left(\frac{b}{2}\right) \approx \frac{b}{2}$$
Sekarang, ganti suku $\sin\left(\frac{b}{2}\right)$ tersebut dengan hasil pendekatannya ($\frac{b}{2}$):
$$2 \sin\left(a – \frac{b}{2}\right) \left( \frac{b}{2} \right)$$
- Nilai dari a adalah $1.5 \times 10^8t$
- Nilai dari b adalah $0.125$
Maka, hasilnya menjadi
$$V_{emf} = (4 \times 10^{-6}) \cdot (1,5 \times 10^8) [2 \cdot \sin(1.5 \times 10^8t – 0.0625) \cdot 0.0625]$$
$$\mathbf{V_{rmf} = 75 \sin(1.5 \times 10^8t – 0.0625)}$$
Perhitungan Daya
Daya adalah kuadrat dari tegangan dibagi dengan resistansi
$$P(t) = \frac{V_{emf}^2}{R}$$
$$P(t) = \frac{(75 \sin(1.5 \times 10^8t – 0.0625))^2}{125}$$
$$P(t) = \frac{5625 \sin^2(1,5 \times 10^8t – 0,0625)}{125}$$
$$\mathbf{P(t) = 45 \sin^2(1,5 \times 10^8t – 0,0625) \text{ W}}$$
