Berdasarkan konfigurasi pada Gambar, sebuah batang konduktor bergerak dengan kecepatan konstan $v$ ke arah sumbu $y$ positif ($\mathbf{v} = v \mathbf{a}_y$). Medan magnet yang sebelumnya konstan kini diganti dengan medan magnet yang berubah terhadap waktu $\mathbf{B} = B_0 \sin(\omega t) \mathbf{a}_z$. Asumsikan bahwa pada saat $t = 0$, posisi batang berada di $y = 0$. Tentukan total GGL induksi ($emf$) pada rangkaian tersebut untuk setiap waktu $t$.
Konsep Dasar
Ketika sebuah loop mengalami perubahan medan magnet sekaligus perubahan luas area, total GGL induksi dihitung menggunakan Hukum Faraday secara menyeluruh.
Total GGL ($V_{emf}$) terdiri dari dua komponen:
- Transformer EMF ($V_{tr}$)
Dihasilkan karena medan magnet $\mathbf{B}$ berubah terhadap waktu.
$$V_{tr} = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S}$$
- Motional EMF ($V_{m}$)
Dihasilkan karena konduktor bergerak memotong garis medan magnet.
$$V_{m} = \oint_L (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{L}$$
Secara praktis, kita bisa menggunakan turunan total dari fluks:
$$V_{emf} = -\frac{d\Phi}{dt}$$
Penyelesaian Soal
Batang bergerak dengan kecepatan $v$, maka jarak yang ditempuh adalah $y = vt$. Jika lebar loop (jarak antar rel pada sumbu $x$) adalah $d$, maka luas loop $S$ pada saat $t$ adalah:
$$\mathbf{S(t) = \text{lebar} \times \text{panjang} = d \cdot (vt)}$$
Fluks adalah hasil kali medan magnet dengan luas area yang ditembusnya secara tegak lurus:
$$\Phi(t) = B(t) \cdot S(t)$$
$$\Phi(t) = [B_0 \sin(\omega t)] \cdot [d \cdot vt]$$
$$\mathbf{\Phi(t) = B_0 d v t \sin(\omega t)}$$
Gunakan aturan perkalian (product rule) untuk menurunkan fluks terhadap waktu:
$$V_{emf} = -\frac{d}{dt} [B_0 d v t \sin(\omega t)]$$
Keluarkan konstanta $(B_0 d v)$:
$$V_{emf} = -B_0 d v \left[ \frac{d}{dt} (t \cdot \sin(\omega t)) \right]$$
Kita selesaikan bagian turunan
$$\frac{d}{dt} (t \cdot \sin(\omega t))$$
Untuk menyelesaikan, kita gunakan aturan produk
$$\frac{d}{dt} (u \cdot v) = uv’ + u’v$$
Kita selesaikan turunannya
- Turunan dari $t$ adalah $1$
- Turunan dari $\sin(\omega t)$ adalah $\omega \cos (\omega t)$
$$\frac{d}{dt} (t \cdot \sin (\omega t)) = t \cdot \omega \cos (\omega t) + 1 \cdot \sin (\omega t)$$
$$\frac{d}{dt} (t \cdot \sin (\omega t)) = \omega t \cos (\omega t) + \sin (\omega t)$$
Hasil akhirnya adalah
$$V_{emf} = -B_0 d v [\omega t \cos (\omega t) + \sin (\omega t)]$$
Total GGL induksi pada rangkaian tersebut adalah:
$$\mathbf{V_{emf}(t) = -B_0 d v \omega t \cos(\omega t) – B_0 d v \sin(\omega t)}$$
