Sebuah arus permukaan sebesar $-100\mathbf{a}_z \text{ A/m}$ mengalir pada silinder konduktor luar dengan jari-jari $\rho = 5 \text{ mm}$. Sementara itu, arus permukaan sebesar $+500\mathbf{a}_z \text{ A/m}$ mengalir pada silinder konduktor dalam dengan jari-jari $\rho = 1 \text{ mm}$. Tentukan besarnya total gaya per meter panjang yang bekerja untuk “membelah” silinder luar di sepanjang panjangnya.
Medan Magnet dari Silinder Dalam ($\mathbf{H}$ dan $\mathbf{B}$)
Hitung arus total pada silinder dalam ($\rho_1 = 1 \text{ mm}$)
$$I_1 = K_{z1} \cdot 2\pi\rho_1$$
$$I_1 = 500 \cdot 2\pi(10^{-3})$$
$$I_1 = \pi \text{ Ampere}$$
Berdasarkan Hukum Ampere, arus yang mengalir pada silinder dalam menciptakan medan magnet di wilayah luar silinder tersebut ($\rho > 1 \text{ mm}$).
$$\oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{L} = I_{enclosed}$$
Untuk silinder dengan arus permukaan $\mathbf{K} = K_z \mathbf{a}_z$, arus totalnya adalah $I = K_z(2\pi\rho)$.
Di permukaan silinder luar ($\rho = 5 \text{ mm}$), medan magnetnya adalah:
$$\mathbf{H} = \frac{I_{dalam}}{2\pi\rho} \mathbf{a}_\phi$$
Medan magnet $\mathbf{B}$ pada silinder luar ($\rho_2 = 5 \text{ mm}$):
$$\mathbf{H} = \frac{I_1}{2\pi\rho_2} \mathbf{a}_\phi$$
$$\mathbf{H} = \frac{\pi}{2\pi(5 \times 10^{-3})} \mathbf{a}_\phi$$
$$\mathbf{H} = \frac{\pi}{\pi 10^{-2}} \mathbf{a}_\phi$$
$$\mathbf{H = 100 \mathbf{a}_\phi \text{ A/m}}$$
Kita bisa mencari medan magnet
$$\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}$$
$$\mathbf{B = 100\mu_0 \mathbf{a}_\phi \text{ Tesla}}$$
Gaya Lorentz pada Arus Permukaan
Gaya per satuan luas pada konduktor yang membawa arus dalam medan magnet adalah:
$$\mathbf{f} = \mathbf{K} \times \mathbf{B}$$
Gaya ini akan menarik atau mendorong dinding silinder secara radial. “Gaya membelah” (splitting force) biasanya merujuk pada resultan gaya pada separuh bagian silinder yang cenderung memisahkannya dari separuh bagian lainnya.
Gunakan arus pada silinder luar $\mathbf{K}_2 = -100 \mathbf{a}_z$:
$$\mathbf{f} = \mathbf{K}_2 \times \mathbf{B}$$
$$\mathbf{F} = (-100 \mathbf{a}_z) \times (100\mu_0 \mathbf{a}_\phi)$$
Catatan: hasil dari $\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_\phi$ adalah $-\mathbf{a}_\rho$
$$\mathbf{f} = 10000\mu_0 \mathbf{a}_\rho \text{ N/m}^2$$
Gaya ini bernilai positif ke arah luar (radial), yang berarti silinder luar mengalami tekanan yang cenderung “meledak” atau membelah.
Gaya Membelah per Meter Panjang ($F_x$)
Proyeksi gaya yang efektif membelah adalah komponen yang tegak lurus terhadap bidang pembelahan. Untuk menghitung gaya yang membelah silinder, kita proyeksikan gaya radial ke satu sumbu (misal sumbu $x$) dan integrasikan pada separuh lingkaran ($\phi$ dari $0$ ke $\pi$). Jika kita membelah secara vertikal, kita mengintegrasikan komponen $\sin(\phi)$.
$$dF_x = f \cdot \sin(\phi) \cdot (\rho_2 \, d\phi \cdot dz)$$
Kita substitusikan $dz = 1$
$$dF_x = f \cdot \sin(\phi) \cdot (\rho_2 \, d\phi)$$
Kita integrasikan elemen gaya vertikal
$$F_{split} = \int_{0}^{\pi} f \cdot \sin(\phi) \cdot \rho_2 \, d\phi$$
$$F_{split} = f \cdot \rho_2 \cdot [-\cos(\phi)]_0^\pi$$
$$F_{split} = f \cdot \rho_2 \cdot [-\cos(\pi) + \cos(0)]_0^\pi$$
$$F_{split} = f \cdot \rho_2 \cdot (-(-1) + 1)$$
$$F_{split} = 2 f \rho_2$$
Substitusi nilai:
$$F_{split} = 2 \cdot (10000\mu_0) \cdot (5 \times 10^{-3})$$
$$F_{split} = 100 \cdot (4\pi \times 10^{-7})$$
$$\mathbf{F_{split} = 4\pi \times 10^{-5} \text{ N/m}}$$
