Sebuah strip konduktor dengan panjang tak hingga terletak pada bidang $xy$. Panjangnya berorientasi sepanjang sumbu $x$, dan lebarnya didefinisikan oleh $-b/2 < y < b/2$ pada sumbu $y$. Arus $I_1$ mengalir pada strip tersebut ke arah $x$ positif dan terdistribusi secara merata di seluruh lebarnya. Di atas strip tersebut dan sejajar dengannya pada ketinggian $z = d$, terdapat sebuah filamen arus tak hingga yang membawa arus $I_2$ ke arah $x$ positif. Tentukan gaya tarik-menarik antara kedua arus tersebut per satuan panjang dalam arah $x$. Asumsikan $d \ll b$.
Mencari Medan Magnet
Medan magnet $\mathbf{B}$ yang dihasilkan oleh filamen arus tak hingga $I_2$ pada jarak tertentu $r$ adalah:
$$\mathbf{B}_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} \mathbf{a}_\phi$$
Filamen berada di $(y=0, z=d)$.
Untuk titik sembarang pada strip $(y, 0, 0)$, jaraknya ke filamen adalah $r = \sqrt{y^2 + d^2}$.
Arah medan magnet $\mathbf{B}_2$ pada posisi $y$ di strip adalah
$$\mathbf{B}_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (y^2 + d^2)} (d \mathbf{a}_y + y \mathbf{a}_z)$$
Mencari Elemen Gaya Diferensial
Gaya yang dialami oleh elemen arus permukaan $d\mathbf{I}_1$ dalam medan magnet $\mathbf{B}_2$ adalah:
$$\mathbf{dF} = d\mathbf{I}_1 \times \mathbf{B}_2$$
Kerapatan arus pada strip adalah $\mathbf{K} = (I_1/b) \mathbf{a}_x$.
Elemen gaya per satuan panjang $x$ pada potongan strip selebar $dy$ adalah:
$$\mathbf{dF}/L = (\mathbf{K} \, dy) \times \mathbf{B}_2$$
$$\mathbf{dF}/L = \left( \frac{I_1}{b} dy \, \mathbf{a}_x \right) \times \left( \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (y^2 + d^2)} (d \mathbf{a}_y + y \mathbf{a}_z) \right)$$
$$\mathbf{dF}/L = \left( \frac{I_1}{b} dy \ \times \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (y^2 + d^2)} \right) \cdot (a_x \times d \mathbf{a}_y + a_x \times y \mathbf{a}_z)$$
$$\mathbf{dF}/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi b (y^2 + d^2)} (d \mathbf{a}_z – y \mathbf{a}_y) dy$$
- Catatan: hasil dari $a_x \times a_y$ adalah $a_z$
- Catatan: hasil dari $a_x \times a_z$ adalah $-a_y$
Mengintegrasikan Elemen Gaya Diferensial
Kita pecahkan integral menjadi dua bagian
$${dF}/L = -\frac{\mu_0 I_1 I_2 y}{2\pi b (y^2 + d^2)} \mathbf{a}_y dy$$
$${dF}/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2 d}{2\pi b (y^2 + d^2)} \mathbf{a}_z dy$$
Kita kerjakan integral terhadap y
$${dF}/L = \int_{-b/2}^{b/2} -\frac{\mu_0 I_1 I_2 y}{2\pi b (y^2 + d^2)} \mathbf{a}_y dy$$
$${dF}/L = -\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi b} \int_{-b/2}^{b/2} \frac{y}{(y^2 + d^2)} \mathbf{a}_y dy$$
Karena simetri dan fungsinya berjenis ganjil, komponen horizontal ($\mathbf{a}_y$) akan saling meniadakan saat diintegrasi dari $-b/2$ ke $b/2$.
Kita tinggal menjumlahkan komponen vertikal ($\mathbf{a}_z$):
$$\mathbf{F}/L = \int_{-b/2}^{b/2} \frac{\mu_0 I_1 I_2 d}{2\pi b (y^2 + d^2)} \mathbf{a}_z \, dy$$
Untuk mempermudah perhitungan, kita gunakan integral standar
$$\int \frac{1}{y^2 + d^2} dy = \frac{1}{d} \tan^{-1}(\frac{y}{d})$$
Kita lanjutkan perhitungannya
$$\mathbf{F}/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2 d}{2\pi b} \left[ \frac{1}{d} \tan^{-1}\left(\frac{y}{d}\right) \right]_{-b/2}^{b/2} \mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{F}/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi b} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{b}{2d}\right) – \tan^{-1}\left(-\frac{b}{2d}\right) \right] \mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{F}/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi b} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{b}{2d}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{b}{2d}\right) \right] \mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{F}/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi b} \cdot 2 \times \tan^{-1}\left(\frac{b}{2d}\right) \mathbf{a}_z$$
Terapkan Asumsi $d \ll b$
Jika $d \ll b$, maka nilai $b/2d$ menjadi sangat besar (mendekati tak hingga).
$$\tan^{-1}(b/2d) = \tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$$
Kita substitusikan nilai dari tangen
$$\mathbf{F}/L \approx \frac{\mu_0 I_1 I_2}{\pi b} \left( \frac{\pi}{2} \right) \mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{F}/L \approx \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2b} \mathbf{a}_z$$
Besar gaya tarik-menarik per satuan panjang antara kedua arus tersebut dengan asumsi $d \ll b$ adalah:
$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2b} \text{ N/m}$$
