Tinjaulah saluran transmisi koaksial berisi udara dengan jari-jari dalam $a$ dan jari-jari luar $b$. (a) Tunjukkan bahwa rugi-rugi akibat efek kulit (skin effect) diminimalkan ketika perbandingan $b/a = 3,6$, yang menghasilkan impedansi karakteristik $Z_0 = 77 \ \Omega$. (b) Tunjukkan bahwa daya maksimum yang dapat dihantarkan saluran sebelum terjadi tembus listrik (air breakdown) dicapai ketika $b/a = 1,65$, yang menghasilkan impedansi karakteristik $Z_0 = 30 \ \Omega$.
(a) Minimasi Rugi-Rugi (Attenuation)
Pada frekuensi tinggi, rugi-rugi utama disebabkan oleh resistansi konduktor ($R$). Untuk saluran koaksial, koefisien atenuasi $\alpha_c$ berbanding lurus dengan:
$$\alpha_c \propto \frac{R}{2Z_0} \propto \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\ln(b/a)}$$
Untuk mencari nilai minimum, kita definisikan fungsi $f(x)$ dengan $x = b/a$:
$$f(x) = \frac{1 + x}{x \ln(x)}$$
Jika kita menurunkan fungsi tersebut terhadap $x$ dan menyamakannya dengan nol ($f'(x) = 0$), kita akan mendapatkan persamaan transendental:
$$\ln(x) = 1 + \frac{1}{x}$$
Dengan menggunakan metode numerik, kita mendapatkan
$$x \approx 3.59$$
Kita hitung nilai impedansi
$$Z_0 = \frac{60}{\sqrt{\epsilon_r}} \ln(3.6)$$
$$Z_0 = \frac{60}{\sqrt{1}} \cdot 1.28$$
$$Z_0 = 60 \cdot 1.28$$
$$\mathbf{Z_0 = 76.8 \ \Omega}$$
(b) Daya Maksimum (Power Handling)
Daya yang dihantarkan sebanding dengan tegangan kuadrat dibagi impedansi ($V^2 / Z_0$). Namun, tegangan dibatasi oleh kuat medan listrik maksimum ($E_{max}$) agar udara tidak terionisasi (percikan api).
Medan listrik pada kabel koaksial adalah $E = \frac{V}{\rho \ln(b/a)}$. Nilai $E$ tertinggi berada di permukaan konduktor dalam ($\rho = a$).
Maka, daya $P$ dapat dirumuskan sebagai:
$$P \propto \frac{(E_{max} \cdot a \cdot \ln(b/a))^2}{60 \ln(b/a)} \propto a^2 \ln(b/a)$$
Karena $a = b/x$, maka $P \propto \frac{\ln(x)}{x^2}$.
Untuk mencari maksimum, turunkan terhadap $x$:
$$\frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(x)}{x^2} \right) = \frac{x^2(1/x) – 2x \ln(x)}{x^4} = 0$$
$$1 – 2 \ln(x) = 0 \implies \ln(x) = 0,5$$
$$x = e^{0,5} \approx \mathbf{1,648} \approx \mathbf{1,65}$$
Impedansi Karakteristik ($Z_0$):
$$Z_0 = 60 \ln(1,65) = 60 \cdot 0,5 \approx \mathbf{30 \ \Omega}$$
