Buktikan $E$ untuk $2D$ adalah
$$E = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m} \left( \frac{n_x^2}{a^2} + \frac{n_y^2}{b^2} \right)$$
Teori Dasar
Pada kotak 2 Dimensi dengan panjang sisi a (sumbu x) dan b (sumbu y), potensialnya adalah:
$$V (x, y) = 0 \ \text{di dalam kotak} \ (0 < x < a \ \text{dan} \ 0 < y < b)$$
Di dalam area ini, tidak ada gaya luar yang bekerja pada partikel. Partikel bebas bergerak ke sana kemari tanpa hambatan, mirip seperti bola biliar yang menggelinding di atas meja datar. Energi total partikel di dalam kotak murni berupa energi kinetik.
$$V (x, y) = \infty \ \text{di luar kotak}$$
Energi potensial di dinding dan di luar kotak bernilai tak terhingga ($\infty$). Artinya, dinding kotak ini bersifat “keras” dan tidak bisa ditembus. Partikel memerlukan energi tak terhingga untuk bisa lolos. Akibatnya, partikel 100% terperangkap di dalam dan peluang menemukan partikel di luar kotak adalah nol ($\psi = 0$).
Persamaan Schrödinger yang berlaku di dalam kotak 2 Dimensi adalah
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \right) = E\psi$$
Pemisahan Variabel
Kita pisahkan variabel tersebut dengan mengasumsikan solusinya berupa perkalian dua fungsi satu dimensi
$$\psi(x,y) = X(x)Y(y)$$
Substitusikan bentuk ini ke dalam komponen turunan parsial pada Persamaan Schrödinger utama
- Pada bagian $x$, $Y(y)$ dianggap sebagai konstanta terhadap x:
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2}[X(x)Y(y)] = Y(y) \frac{d^2X}{dx^2}$$
- Pada bagian $y$, $X(X)$ dianggap sebagai konstanta terhadap y:
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2}{\partial y^2}[X(x)Y(y)] = X(x) \frac{d^2Y}{dy^2}$$
Kita substitusikan ulang ke persamaan Schrödinger tadi
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left(Y(y) \frac{d^2X}{dx^2} + X(x) \frac{d^2Y}{dy^2} \right) = E \cdot X(x)Y(y)$$
Kita bagi turunan parsial tersebut dengan $\cdot X(x)Y(y)$
- Kita bagikan bagian $X(x)$
$$\frac{X(x) \frac{d^2Y}{dy^2}}{X(x)Y(y)} = \frac{1}{Y(y)} \cdot \frac{X(x)}{X(x} \cdot \frac{d^2Y}{dy^2} = \frac{1}{Y(y)} \cdot \frac{d^2Y}{dy^2}$$
- Kita bagikan bagian $Y(y)$
$$\frac{Y(y) \frac{d^2X}{dx^2}}{X(x)Y(y)} = \frac{1}{X(x)} \cdot \frac{Y(y)}{Y(y} \cdot \frac{d^2X}{dx^2} = \frac{1}{X(x)} \cdot \frac{d^2X}{dx^2}$$
- Kita bagikan bagian $E$
$$\frac{E \cdot X(x)Y(y)}{X(x)Y(y)} = E$$
Hasilnya kita substitusikan kembali ke dalam persamaan
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{1}{X} \frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y} \frac{d^2Y}{dy^2} \right) = E$$
Kita bisa memisahkan kedua variabel tersebut menjadi masing-masing satu variabel
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{X} \frac{d^2X}{dx^2} = E_x \quad \text{dan} \quad -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{Y} \frac{d^2Y}{dy^2} = E_y$$
Kita bisa menyederhanaan bagian turunan sebelumnya
- Kita sederhanakan bagian turunan $X$
$$\frac{1}{X} \frac{d^2X}{dx^2} = -\frac{2 m E_x}{\hbar^2} = {-k_x}^2$$
- Kita sederhanakan bagian turunan $Y$
$$\frac{1}{Y} \frac{d^2Y}{dy^2} = -\frac{2 m E_Y}{\hbar^2} = {-k_y}^2$$
Hasilnya menjadi
$$\frac{\hbar^2 {k_x}^2}{2m} = E_x \quad \text{dan} \quad \frac{\hbar^2 {k_y}^2}{2m} = E_y$$
Solusi Bagian X
Solusi umum untuk $X(x)$ adalah:
$$X(x) = A \sin(k_x x) + B \cos(k_x x)$$
Kita substitusikan syarat batas $X(0) = 0$ dan $X(a) = 0$
- Substitusi $X(0) = 0$
$$X(0) = A \sin(k_x (0)) + B \cos(k_x (0))$$
$$0 = A \sin(0) + B \cos(0)$$
$$0 = 0 + B$$
$$\mathbf{B = 0}$$
- Substitusi $X(a) = 0$
$$X(a) = A \sin(k_x (a)) + 0$$
$$0 = A \sin(k_xa)$$
Agar sistem ini memiliki solusi, maka konstanta A tidak boleh bernilai nol. Satu satunya cara adalah $\sin (k_xa)$ yang harus bernilai nol.
Kita tahu bahwa fungsi sinus bernilai nol pada $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$, dll, maka nilai $\sin$ adalah ($n_x \pi$)
$$\sin(k_xa) = \sin(n_x \pi)$$
$$k_xa = n_x \pi$$
$$\mathbf{k_x = \frac{n_x \pi}{a}}$$
Solusi Bagian Y
Solusi umum untuk $Y(y)$ adalah:
$$Y(y) = A \sin(k_y y) + B \cos(k_y y)$$
Kita substitusikan syarat batas $Y(0) = 0$ dan $Y(b) = 0$
- Substitusi $Y(0) = 0$
$$Y(0) = A \sin(k_y (0)) + B \cos(k_y (0))$$
$$0 = A \sin(0) + B \cos(0)$$
$$0 = 0 + B$$
$$\mathbf{B = 0}$$
- Substitusi $Y(b) = 0$
$$Y(b) = A \sin(k_y (b)) + 0$$
$$0 = A \sin(k_yb)$$
Agar sistem ini memiliki solusi, maka konstanta A tidak boleh bernilai nol. Satu satunya cara adalah $\sin (k_yb)$ yang harus bernilai nol.
Kita tahu bahwa fungsi sinus bernilai nol pada $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$, dll, maka nilai $\sin$ adalah ($n_y \pi$)
$$\sin(k_yb) = \sin(n_y \pi)$$
$$k_yb = n_y \pi$$
$$\mathbf{k_y = \frac{n_y \pi}{b}}$$
Pembuktian Energi Total
Kita substitusikan nilai $k_x$ dan $k_y$ yang sudah di dapat ke dalam persamaan
$$\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \left(\frac{n_x \pi}{a}\right)^2 = \frac{\hbar^2 {n_x}^2 {\pi}^2}{2ma^2} = E_x$$
$$\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \left(\frac{n_y \pi}{b}\right)^2 = \frac{\hbar^2 {n_y}^2 {\pi}^2}{2mb^2} = E_y$$
Energi total adalah penjumlahan energi dari tiap komponen
$$E_{total} = E_x + E_y$$
$$E_{total} = \frac{\hbar^2 {n_x}^2 {\pi}^2}{2ma^2} + \frac{\hbar^2 {n_y}^2 {\pi}^2}{2mb^2}$$
$$E_{total} = \frac{\hbar^2 {\pi}^2}{2m} \left(\frac{{n_x}^2}{a^2} + \frac{{n_y}^2}{b^2}\right)$$
