Tentukan nilai eigen dan fungsi eigen dari nilai batas yang diberikan. Asumsikan semua nilai eigen tersebut adalah nyata.
$$y” + \lambda y = 0, \ y'(0) = 0, \ y(L) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Persamaan Karakteristik
Kita buat persamaan tersebut dengan sedikit manipulasi.
$$y” = r^2 \text{dan} \lambda y = \lambda$$
Persamaan tersebut menjadi
$$r^2 + \lambda = 0$$
$$r^2 = -\lambda$$
Nilai eigen bisa berupa bilangan positif, bilangan negatif, atau nol. Kita harus menguji pada ketiga kemungkinan tersebut
Uji Nilai Negatif
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $-\mu^2$
Persamaan menjadi $r^2 = \mu^2$, sehingga $r = \pm \mu$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1 \cosh(\mu x) + c_2 \sinh(\mu x)$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = -c_1 \sinh(\mu x) + \mu c_2 \cosh(\mu x)$$
Substitusi nilai pertama
$$y'(0) = -c_1 \sinh(\mu 0) + \mu c_2 \cosh(\mu 0)$$
$$y'(0) = -c_1 \sinh(0) + \mu c_2 \cosh(0)$$
$$0 = 0 + \mu c_2$$
Catatan: karena nilai $\mu \neq 0$, maka $c_2$ harus nol
$$\mathbf{c_2 = 0}$$
Buat ulang solusi awal
$$y(x) = c_1 \cosh(\mu x)$$
Substitusi nilai kedua
$$y(L) = c_1 \cosh(\mu L)$$
Catatan:nilai dari $\cosh (\mu \pi)$ adalah positif dan $\mu$ adalah positif, sehingga satu satunya jalan adalah $c_1$ harus $0$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Karena nilai kedua konstanta adalah $0$, maka solusinya adalah trivial
$$y(x) = 0$$
Uji Nilai Nol
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $0$
Persamaan menjadi $r^2 =0$, sehingga $r =0$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1 + c_2x$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = c_2$$
Substitusi nilai pertama
$$y'(0) = c_2$$
$$0 = c_2$$
$$\mathbf{c_2 = 0}$$
Buat ulang solusi awal
$$y(x) = c_1$$
Substitusi nilai kedua
$$y(L) = c_1$$
$$0 = c_1$$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Karena nilai kedua konstanta adalah $0$, maka solusinya adalah trivial
$$y(x) = 0$$
Uji Nilai Positif
Anggaplah nilai dari $-\lambda$ adalah $\mu^2$
Persamaan menjadi $r^2 =-\mu^2$, sehingga $r = \pm \mu i$
Solusi umum adalah $y(x) = c_1\cos(\mu x) + c_2 \sin(\mu x)$
Turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = – \mu c_1\sin(\mu x) + \mu c_2 \cos(\mu x)$$
Substitusi nilai pertama
$$y'(0) = – \mu c_1\sin(\mu 0) + \mu c_2 \cos(\mu 0)$$
$$y'(0) = – \mu c_1\sin(0) + \mu c_2 \cos(0)$$
$$y'(0) = 0 + \mu c_2$$
Catatan: karena nilai $\mu \neq 0$, maka $c_2$ harus nol
Bentuk ulang solusi awal
$$y(x) = c_1\cos(\mu x)$$
Substitusi nilai kedua
$$y(L) = c_1\cos(\mu L)$$
Catatan: sama seperti sebelumnya, nilai $\mu$ adalah positif dan nilai $c_1$ haruslah bukan $0$, sehingga $\cos (\mu L) = 0$ agar kita bisa mencari solusinya alih-alih memaksa solusinya menjadi solusi trivial.
Nilai Eigen dan Fungsi Eigen
$\cos (\mu L) = 0$ bernilai nol apabila $\mu L = \frac{2n + 1}{2}\pi$
Pindahkan variabel L ke bagian pecahan
$\cos (\mu L) = 0$ bernilai nol apabila $\mu = \frac{2n + 1}{2L}\pi$
Karena ketetapan awalnya adalah $\lambda = \mu^2$, maka nilai eigennya adalah
$$\mathbf{\lambda = \left(\frac{2n + 1}{2L}\pi \right)^2, \ n = 0, 1, 2, … }$$
Masukkan kembali nilai $\mu$ ke dalam solusi awal
$$\mathbf{y(x) = c_1\cos\left(\frac{2n + 1}{2L}\pi x \right), \ n = 0, 1, 2, …}$$
