Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$x^2 y” + 3xy’ + y = x^2, \ y(1) = 0, \ y(e) = 0$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Solusi Homogen
Kita ubah variabel menjadi polinomial
- $x^2 y” = r(r – 1)$
- $3xy’ = 3r$
- $y = konstanta$
Maka persamaannya menjadi
$$r(r – 1) + 3r + 1 = 0$$
$$r^2 – r + 3r + 1 = 0$$
$$r^2 + 2r + 1$$
$$(r + 1)^2$$
Solusinya adalah $r_1 = -1$ dan $r_2 = -1$
Ingat beberapa rumus ini
- Akar-Akar Berbeda ($r_1 \neq r_2$): $C_1x^{r_1} + C_2x^{r_2}$
- Akar-Akar Kembar ($r_1 = r_2$): $C_1x^r + C_2x^r \ln x$
- Akar-Akar Imajiner ($\alpha \pm \beta i$): $x^\alpha [C_1 \cos (\beta \ln x) + C_2 \sin (\beta \ln x)]$
Karena akar-akarnya kembar, solusinya adalah
$$y_h(x) = C_1x^{-1} + C_2x^{-1} \ln x$$
Solusi Partikular
Kita ubah variabel menjadi variabel bentuk lain
- $y_p = Ax^2$
- $y_p’ = 2Ax$
- $y_p” = 2A$
Maka persamaannya menjadi
$$(2A)x^2 + 3x(2Ax) + Ax^2 = x^2$$
$$2Ax^2 + 6Ax^2 + Ax^2 = x^2$$
$$9Ax^2 = x^2$$
$$A = \frac{1}{9}$$
Solusinya adalah
$$y_p(x) = \frac{1}{9}x^2$$
Terapkan Batas
Solusi akhirnya adalah
$$y(x) = C_1x^{-1} + C_2x^{-1} \ln x + \frac{1}{9}x^2$$
Kita terapkan syarat pertama
$$y(1) = C_1(1)^{-1} + C_2(1)^{-1} \ln 1 + \frac{1}{9}(1)^2$$
$$0 = C_1 + C_2 \cdot 0 + \frac{1}{9} \cdot 1$$
$$0 = C_1 + 0 \frac{1}{9}$$
$$\mathbf{C_1 = -\frac{1}{9}}$$
Kita terapkan syarat kedua
Susun Ulang Persamaan
Dengan nilai $C_1 = -\frac{1}{9}$ dan $C_2 = \frac{1 – e^3}{9}$, solusi akhirnya adalah
