Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$y” + y = 0, \ y(0) = 0, \ y(L) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Transformasi Persamaan Kuadrat
Ubah persamaan diferensial menjadi persamaan kuadrat
- $y” = s^2$
- $y’ = s$
- $y = konstanta$
$$s^2 + 1 = 0$$
$$s^2 = -1$$
$$s = \pm i$$
Bisa kita ubah menjadi
$$s = 0 \pm i$$
Ingat kalau solusi dari persamaan diferensial dengan akar imajiner adalah
$$\alpha \pm \beta i$$
$$y(x) = e^{-\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin (\beta x))$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$0 \pm i$$
$$y(x) = e^{-0}(C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x))$$
$$y(x) = C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x)$$
Uji Batas Nilai
Kita substitusikan nilai pertama
$$y(0) = C_1 \cos (0) + C_2 \sin (0)$$
$$0 = C_1 + 0$$
$$\mathbf{C_1 = 0}$$
Kita substitusikan nilai kedua
$$y(L) = C_2 \sin (L)$$
$$0 = C_2 \sin (L)$$
Disini terdapat dua solusi yang ada
n adalah bilangan bulat bebas dan $\pi$ adalah $180^\circ$
- Jika $L \neq n\pi$, maka satu satunya cara adalah $C_2$ harus 0. Solusinya adalah solusi trivial $y(x) = 0$.
- Jika $L = n\pi$, maka $C_2$ bisa berupa konstanta apa saja karena nilai $\sin (\pi)$ sudah menghasilkan nol. Solusinya adalah $y(x) = C_2 \sin x$ (solusi tak terhingga).
