Rangkaian Listrik – Sirkuit Orde Pertama – Bagian 8

(a) Tentukan nilai resistansi $R$ dan kapasitansi $C$.

Resistansi adalah perbandingan antara tegangan dan arus.

$$R = \frac{v(t)}{i(t)}$$

$$R = \frac{10e^{-4\text{t}}}{0,2e^{-4\text{t}}}$$

$$R = \frac{10}{0,2} \times \frac{e^{-4\text{t}}}{e^{-4\text{t}}}$$

$$\mathbf{R = 50 \ \Omega}$$

Kapasitansi adalah perkalian arus dengan turunan tegangan terhadap waktu

$$i_c = C \frac{dv}{dt}$$

Perhatikan bahwa arus mengalir keluar dari terminal positif

$$i_c = -i_c = -C \frac{dv}{dt}$$

$$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(10e^{-4t}) = -40e^{-4t}$$

Ingat, turunan dari $e^{at}$ adalah $ae^{at}$

Nah, sekarang kita substitusikan nilai arus

$$i(t) = i = 0,2e^{-4t} = -C \cdot -40e^{-4t}$$

$$C = -\frac{0,2e^{-4t}}{-40e^{-4t}}$$

$$C = -\frac{0,2}{-40} \cdot \frac{e^{-4t}}{e^{-4t}}$$

$$\mathbf{C = 0,005 \ \text{F}}$$

(b) Tentukan konstanta waktu $\tau$ (tau).

Karena yang diketahui adalah kapasitor, maka kita gunakan rumus

$$\tau = R \cdot C$$

$$\tau = 50 \cdot (5 \times 10^{-3})$$

$$\mathbf{\tau = 0,25 \ \text{s}}$$

(c) Hitunglah energi awal yang tersimpan dalam kapasitor.

Rumus energi dari kapasitor adalah $$w = \frac{1}{2}Cv^2$$.

Energi awal dimulai dari $t = 0$

$$v(0) = 10 e^{-4(0)} = 10e^0 = 10$$

$$w = \frac{1}{2}(0,005)(10)^2$$

$$w = 0,5 \cdot 0,005 \cdot 100$$

$$\mathbf{w = 0,25 \ \text{J}}$$

(d) Dapatkan waktu yang dibutuhkan untuk membuang (disipasi) 50 persen dari energi awal tersebut.

Karena 50% energi dihilangkan, maka energi yang tersisa adalah 50% dari energi awal

$$w(t) = 0.5 w(0)$$

$$\frac{1}{2}Cv(t)^2 = 0.5 \left( \frac{1}{2}Cv(0)^2 \right)$$

$$v(t)^2 = 0.5 v(0)^2$$

$$(10e^{-4t})^2 = 0.5 (10)^2$$

$$100e^{-8t} = 50$$

$$e^{-8t} = 0.5$$

$$-8t = \ln(0,5) = -0,693$$

$$\mathbf{t = \frac{-0,693}{-8} = 86,6 \times 10^{-3} \ \text{s}}$$

Ingat kalau $\ln (e) = 1$