Sebuah rangkaian paralel $RLC$ memiliki persamaan simpul (node equation) sebagai berikut:
$$\frac{dv}{dt} + 50v(t) + 100 \int v \, dt = 110 \cos(377t – 10^\circ) \text{ V}$$
Tentukan tegangan $v(t)$ dengan menggunakan metode fasor. Kamu diperbolehkan mengasumsikan bahwa nilai integral pada $t = -\infty$ adalah nol.
Cara mengerjakan soal dengan tipe seperti sudah pernah dibahas pada soal sebelumnya.
Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk menganalisis tegangan atau mengunjungi artikel ini untuk menganalisis arus.
Identifikasi Parameter dan Bentuk Fasor
Ingat bagaimana bentuk fasor
$$x(t) = X_m \cos (\omega t + \phi)$$
$$X = X_m \angle \phi$$
Maka bentuk fasornya adalah
$$v(t) = 110 \cos(377t – 10^\circ) \text{ V}$$
$$V = 110 \angle -10^\circ \text{ V}$$
Turunkan dan Integral dalam Bentuk Fasor
Dalam domain phasor, berlaku aturan berikut:
- Turunan ($\frac{dv}{dt}$) berarti dikalikan dengan $j\omega$
$$\frac{dv}{dt} \rightarrow j\omega \mathbf{V}$$
- Integral ($\int v dt$) berarti dibagi dengan $j\omega$
$$\int v dt \rightarrow \frac{\mathbf{V}}{j\omega}$$
Transformasikan Persamaan dalam Bentuk Fasor
Substitusikan aturan phasor ke dalam persamaan tersebut:
$$\text{Hasil} = 50\mathbf{V} + (j\omega\mathbf{V}) + 100 \left(\frac{\mathbf{V}}{j\omega}\right)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} \left( 50 + j\omega + \frac{100}{j\omega} \right)$$
Substitusikan nilai $\omega = 377$:
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} \left( 50 + j \times 377 + \frac{100}{j \times 377} \right)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} (50 + j377 – j0,265)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} (50 + j376,735)$$
Catatan: $\frac{1}{j} = -j$
Transformasikan ke Bentuk Polar dan Kalikan Polar
Kita ubah bentuk rektangular menjadi bentuk fasor
$$r = \sqrt{50^2 + 376,735^2} = \sqrt{2500 + 141929,260} = \sqrt{144429,260} = 380,038$$
$$\theta = \tan^{-1}(376,735/50) = \tan^{-1}(7,530) = 82,43^\circ$$
$$380,038 \angle 82,43^\circ$$
Bagikan hasilnya untuk mencari polar tegangan
$$\frac{110 \angle -10^\circ}{380,038 \angle 82,43^\circ} = \frac{110}{380,038}\angle (-10^\circ – 82,43^\circ)$$
$$\frac{110 \angle -10^\circ}{380,038 \angle 82,43^\circ}Â = 0,289 \angle -92,43^\circ$$
Ubah ke Bentuk Domain Waktu
$$\mathbf{v(t) = 0,289 \cos(377t – 92,43^\circ)}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
